Uso de la Calculadora

Si deseamos calcular un período de muchas cifras, resultaría interesante poseer algún programa informático a tal fin.
Pero si no lo tenemos, y no sabemos de otras posibilidades similares, entonces podremos conseguirlo usando simplemente una calculadora. Por ejemplo, la de Windows.

Ahora veamos la forma de hacerlo. 

Digamos que queremos conocer el período del primo  107.

Para ello hacemos  1 / 107  en la calculadora y obtenemos

0,0093457943 9252336448 5981308411 215

acá nos muestra 33 cifras, pero descartaremos la última (el 5) por no resultar segura, ya que la calculadora redondea (podría tratarse de un 4 seguido de un 6, 7, 8 ó 9, y nos redondea a 5).

Habiendo excluido esa última cifra, tomamos las cinco anteriores:  41121

y ponemos una coma al principio:  4,1121

multiplicamos por el primo  107:
4,1121 . 107 = 439,9947

y lo restamos al número entero más cercano: 440
440 - 439,9947 = 0,0053

multiplicamos por 100000
100000 . 0,0053 = 530

Ahora hacemos  530 / 107

530 / 107 = 4,9532710280373831775700934579439

Descartamos la coma y el último guarismo (el 9) :

4953271028037383177570093457943

que son las siguientes cifras correspondientes al período de  107

Ahora las unimos a las primeras conseguidas:

0,00934579439252336448598130841121 4953271028037383177570093457943

pero notamos que las últimas diez cifras se repiten, o sea que vuelve a aparecer el período. Entonces listo, ya lo conseguimos :

0,0093457943 9252336448 5981308411 2149532710 2803738317 757

son 53 cifras

De no haberse notado esa repetición de dígitos, entonces prosiguiríamos con el método.


Ahora probemos de conseguir el período de un número más grande, por ejemplo el del primo  111149

Para ello hacemos  1 / 111149  en la calculadora y obtenemos

0,0000089969 3204617225 5260956013 9992263

acá nos muestra 37 cifras, pero descartaremos la última (el 3) por el tema de no resultar segura.

Habiendo excluido esa última cifra, el método nos diría que tomemos las cinco anteriores. Pero al ser un número grande (111149), deberemos tomar más. Entonces tomemos las ocho cifras anteriores: 13999226

y ponemos una coma al principio:  1,3999226

multiplicamos por el primo  111149:
1,3999226 . 111149 = 155599,9970674

y lo restamos al número entero más cercano: 155600
155600 - 155599,9970674 = 0,0029326

multiplicamos por 100000000 (ocho ceros luego del 1, no cinco ceros como habíamos usado antes)
100000000 . 0,0029326 = 293260

Ahora hacemos  293260 / 111149

293260 / 111149 = 2,6384402918604755778279606654131

Descartamos la coma y el último dígito (el 1) :

2638440291860475577827960665413

que son las siguientes cifras correspondientes al período de  111149

Ahora las unimos a las primeras conseguidas:

0,000008996932046172255260956013999226  2638440291860475577827960665413

No aparece ninguna periodicidad, entonces seguimos:

Tomamos las ocho cifras últimas: 60665413

y ponemos una coma al principio:  6,0665413

multiplicamos por el primo  111149:
6,0665413 . 111149 = 674289,9989537

y lo restamos al número entero más cercano: 674290
674290 - 674289,9989537 = 0,0010463

multiplicamos por 100000000

100000000 . 0,0010463 = 104630

Ahora hacemos  104630 / 111149

104630 / 111149 = 0,94134899999100306795382774473904

Descartamos la coma :

094134899999100306795382774473904

excluimos la última (el 4)

y tenemos las siguientes cifras correspondientes al período de  111149

Ahora las unimos a las conseguidas anteriormente:

0,000008996932046172255260956013999226  2638440291860475577827960665413
09413489999910030679538277447390

Si bien no se nota periodicidad, lo que sí se advierte es "el tema de los nueves".
O sea que si tomamos las últimas cifras desde  9999910030679538277447390
y las sumamos a las primeras, obtenemos:

9999910030679538277447390 + 
0000089969320461722552609 =
9999999999999999999999999

Lo que nos permite asegurar que traspasamos la mitad del período, por lo que los dígitos siguientes serán más fáciles de averiguar :

9999999999999999999999999999999999999999999999999 -
5601399922626384402918604755778279606654130941348 =
4398600077373615597081395244221720393345869058651

Unimos todas y tenemos el período del  111149, que entonces tiene 148 cifras.

0,0000089969 3204617225 5260956013 
   9992262638 4402918604 7557782796 
   0665413094 1348999991 0030679538
   2774473904 3986000773 7361559708
   1395244221 7203933458 69058651...

Períodos vistosos

Uno de los períodos más estudiados es el del  7

1 / 7 = 0,142857...

Se conocen muchas curiosidades acerca del  142857.

Aportemos una de ellas : sus cifras aparecen en el cubo del número  75.

75³ = 421875

y ya que hablamos del  75, hagamos el cociente entre sus dos dígitos

5 / 7 = 0,714285...      por supuesto, también aquí aparecen

Recordemos que el  7  es uno de los dos únicos primos que tiene 6 cifras en su período.  El otro es el  13, pues    1 / 13 = 0,076923...
Entonces tenemos que el período del  13  es  076923

Ahora hagamos que el  7  ayude  al  13

¿habrá alguna potencia al respecto, digamos un cuadrado?

Sí que hay, está el      777² = 603729
que sorprendentemente tiene los mismos dígitos que el período del  13

El  7  fue de buena ayuda, pero
¿podrá ayudar al mismo fin algún que otro dígito, por ejemplo el 6, el 5, el 4,...?

quizás una combinación de ellos, digamos el  456

hacemos   456² = 207936    y de nuevo logramos obtener los mismos dígitos. 


Casualidades aparte, ahora veremos algunos números que presentan períodos curiosos.

En entradas anteriores habíamos trabajado con las sumas escalonadas y se habían mostrado algunos períodos llamativos, como por ejemplo

1 / 81 = 0, 0 1 2 3 4 5 6 7 9...    

1 / 97 = 0, 01 03 09 27.....     son 96 cifras

similar a este tenemos

1 / 98 = 0, 01 02 04 08 16 32.....     son 42 cifras

Veamos algunos más

1 / 891 = 0, 00 11 22 33 44 55 66 77 89...

1 / 8991 = 0, 000 111 222 333 444 555 666 777 889...

1 / 4455 = 0,0 00 22 44 66 89 11 33 55 78...

1 / 44955 = 0,0 000 222 444 666 889 111 333 555 778...

1 / 818181 = 0, 00000 1 22222 3 44444 5 66666 7.....     son 54 cifras

1 / 243243 = 0, 00000 4 11111 5 22222 6 33333 7.....     son 54 cifras 

Por último, un par especiales :

el período del  10201  (cuadrado de 101)
tiene 404 cifras y acá van todas 
                                       1 / 10201 = 0, 00 00
98 02 96 04 94 06 92 08 90 10 88 12 86 14 84 16 82 18 80 20
78 22 76 24 74 26 72 28 70 30 68 32 66 34 64 36 62 38 60 40
58 42 56 44 54 46 52 48 50 50 48 52 46 54 44 56 42 58 40 60
38 62 36 64 34 66 32 68 30 70 28 72 26 74 24 76 22 78 20 80
18 82 16 84 14 86 12 88 10 90 08 92 06 94 04 96 02 98 00 99
99 01 97 03 95 05 93 07 91 09 89 11 87 13 85 15 83 17 81 19
79 21 77 23 75 25 73 27 71 29 69 31 67 33 65 35 63 37 61 39
59 41 57 43 55 45 53 47 51 49 49 51 47 53 45 55 43 57 41 59
39 61 37 63 35 65 33 67 31 69 29 71 27 73 25 75 23 77 21 79
19 81 17 83 15 85 13 87 11 89 09 91 07 93 05 95 03 97 01 99...

y el período del  9801, con sus 198 cifras
                                       1 / 9801 = 0,
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 99...

Más Cadenas de Bases

En la entrada anterior vimos una tabla con las raíces primitivas de cada primo  P  menor a 200.
En nuestro estudio, cada raíz indicará la menor base numérica en donde la longitud del período  Cp  es máxima, o sea donde vale  P-1.
Y a partir de ella puede empezar a construirse la cadena de bases.

En alguna entrada anterior habíamos hecho dicha cadena para el primo  13, cuya raíz primitiva es  2.

Ahora la haremos para el primo  7, cuya raíz es  3

entonces el 1º eslabón será  3
el 2º será   3.3=9,  pero como  9  es mayor que  7, entonces ponemos su resta  9-7 = 2
para el 3º eslabón tomamos ese  2  y hacemos   2.3 = 6
para el 4º sería   6.3=18    18-7=11    11-7 = 4
el 5º será   4.3=12    12-7 = 5
por último el 6º es   5.3=15    15-7=8    8-7 = 1   (de todos modos el último eslabón siempre valdrá  1)

Entonces la cadena de bases para el primo  7  es :

    3      2      6      4      5      1

Luego los posibles  Cp  del  7  serán los divisores de 7-1=6, o sea  6, 3, 2 y 1

para el  1  hacemos  6 / 1 = 6  hacemos "1 salto de 6" e irá al 6º lugar

para el  2  hacemos  6 / 2 = 3  hacemos "2 saltos de 3" e irá al 3º y 6º lugar, pero como el 6º ya está ocupado, entonces irá sólo al 3º

para el  3  hacemos  6 / 3 = 2  hacemos "3 saltos de 2" e irá al 2º, 4º y 6º lugar, pero como el 6º ya está ocupado, entonces irá sólo al 2º y 4º lugar

para el  6  hacemos  6 / 6 = 1  y simplemente lo asociaremos con las bases restantes, o sea la 1º y la 5º

quedando

Ahora digamos que queremos saber cual será la longitud del período del  7  en, por ejemplo, la base  445

Para eso dividimos  445  en  7  y el resto corresponderá a la base buscada
445 = 7 . 63 + 4

entonces el primo  7  en la base  445  tendrá el mismo  Cp  que en la base  4, o sea  3  cifras

comprobemos 

en base 445   1 / 7 = 0,(63)(254)(127)...    efectivamente son  3  cifras.


Ya que estamos hagamos la cadena de bases para un primo más grande, por ejemplo el  41

Como podemos ver en la tabla de la entrada anterior, su raíz primitiva es  6

entonces el 1º eslabón será  6
el 2º será   6.6 = 36
el 3º será   36.6=216   por lo que habrá que restarle varias veces 41
lo hacemos   216-41-41-41-41-41 = 11
para el 4º sería   11.6=66    66-41 = 25
el 5º dará   25.6=150    150-41-41-41 = 27   
y así sucesivamente hasta llegar a completar su cadena de bases

Es de notar que sería suficiente con fabricar solamente la primera mitad de la cadena, ya que la otra mitad se consiguirá fácilmente restando cada eslabón al primo considerado, en este caso al  41. 
Entonces sería   41-6=35,   41-36=5,   41-11=30,   41-25=16,  etc

Luego los posibles  Cp  del  41  serán los divisores de 41-1=40, o sea  40, 20, 10, 8, 5, 4, 2 y 1

para el  1  hacemos  40 / 1 = 40  hacemos "1 salto de 40" e irá al 40º lugar

para el  2  hacemos  40 / 2 = 20  hacemos "2 saltos de 20" e irá al 20º y 40º lugar, pero como el 40º ya está ocupado, entonces irá sólo al 20º

para el  4  hacemos  40 / 4 = 10  hacemos "4 saltos de 10" e irá al 10º, 20º, 30º y 40º lugar, pero como el 20º y 40º ya están ocupados, entonces irá sólo al 10º y 30º lugar

para el  5  hacemos  40 / 5 = 8  hacemos "5 saltos de 8" e irá al 8º, 16º, 24º, 32º y 40º lugar, pero como el 40º ya está ocupado, entonces irá sólo al 8º, 16º, 24º y 32º

veamos como queda hasta ahora

seguimos

para el  8  hacemos  40 / 8 = 5  hacemos "8 saltos de 5" e irá al 5º, 10º, 15º, 20º, 25º, 30º, 35º y 40º lugar, pero como el 10º, 20º, 30º y 40º ya están ocupados, entonces irá sólo al 5º, 15º, 25º y 35º

para el  10  hacemos  40 / 10 = 4  hacemos "10 saltos de 4" e irá al 4º, 8º, 12º, 16º, 20º, 24º, 28º, 32º, 36º y 40º lugar, pero sólo quedan libres el 4º, 12º, 28º y 36º

para el  20  hacemos  40 / 20 = 2  hacemos "20 saltos de 2" y acá sólo podrán ocupar el 2º, 6º, 14º, 18º, 22º, 26º, 34º y 38º 

por último, para el  40  simplemente lo asociamos con las bases restantes. 

Y aquí tenemos la buscada cadena de bases del  41  con todos sus  Cp

Y ahora se nos antoja conocer cual será la longitud del período del  41  en, por ejemplo, la base  191

Para eso dividimos  191 en  41  y el resto corresponderá a la base buscada
191 = 41 . 4 + 27

entonces el primo  41  en la base  191  tendrá el mismo  Cp  que en la base  27, o sea  8  cifras

comprobemos 

en base 191   1 / 41 = 0,4(125)(149)(13)(186)(65)(41)(177)...    efectivamente son  8  cifras.