En nuestro estudio, cada raíz indicará la menor base numérica en donde la longitud del período Cp es máxima, o sea donde vale P-1.
Y a partir de ella puede empezar a construirse la cadena de bases.
En alguna entrada anterior habíamos hecho dicha cadena para el primo 13, cuya raíz primitiva es 2.
Ahora la haremos para el primo 7, cuya raíz es 3
entonces el 1º eslabón será 3
el 2º será 3.3=9, pero como 9 es mayor que 7, entonces ponemos su resta 9-7 = 2
para el 3º eslabón tomamos ese 2 y hacemos 2.3 = 6
para el 4º sería 6.3=18 18-7=11 11-7 = 4
el 5º será 4.3=12 12-7 = 5
por último el 6º es 5.3=15 15-7=8 8-7 = 1 (de todos modos el último eslabón siempre valdrá 1)
Entonces la cadena de bases para el primo 7 es :
3 2 6 4 5 1
Luego los posibles Cp del 7 serán los divisores de 7-1=6, o sea 6, 3, 2 y 1
para el 1 hacemos 6 / 1 = 6 hacemos "1 salto de 6" e irá al 6º lugar
para el 2 hacemos 6 / 2 = 3 hacemos "2 saltos de 3" e irá al 3º y 6º lugar, pero como el 6º ya está ocupado, entonces irá sólo al 3º
para el 3 hacemos 6 / 3 = 2 hacemos "3 saltos de 2" e irá al 2º, 4º y 6º lugar, pero como el 6º ya está ocupado, entonces irá sólo al 2º y 4º lugar
para el 6 hacemos 6 / 6 = 1 y simplemente lo asociaremos con las bases restantes, o sea la 1º y la 5º
quedando
Ahora digamos que queremos saber cual será la longitud del período del 7 en, por ejemplo, la base 445
Para eso dividimos 445 en 7 y el resto corresponderá a la base buscada
445 = 7 . 63 + 4
entonces el primo 7 en la base 445 tendrá el mismo Cp que en la base 4, o sea 3 cifras
comprobemos
en base 445 1 / 7 = 0,(63)(254)(127)... efectivamente son 3 cifras.
Ya que estamos hagamos la cadena de bases para un primo más grande, por ejemplo el 41
Como podemos ver en la tabla de la entrada anterior, su raíz primitiva es 6
entonces el 1º eslabón será 6
el 2º será 6.6 = 36
el 3º será 36.6=216 por lo que habrá que restarle varias veces 41
lo hacemos 216-41-41-41-41-41 = 11
para el 4º sería 11.6=66 66-41 = 25
el 5º dará 25.6=150 150-41-41-41 = 27
y así sucesivamente hasta llegar a completar su cadena de bases
Es de notar que sería suficiente con fabricar solamente la primera mitad de la cadena, ya que la otra mitad se consiguirá fácilmente restando cada eslabón al primo considerado, en este caso al 41.
Entonces sería 41-6=35, 41-36=5, 41-11=30, 41-25=16, etc
Luego los posibles Cp del 41 serán los divisores de 41-1=40, o sea 40, 20, 10, 8, 5, 4, 2 y 1
para el 1 hacemos 40 / 1 = 40 hacemos "1 salto de 40" e irá al 40º lugar
para el 2 hacemos 40 / 2 = 20 hacemos "2 saltos de 20" e irá al 20º y 40º lugar, pero como el 40º ya está ocupado, entonces irá sólo al 20º
para el 4 hacemos 40 / 4 = 10 hacemos "4 saltos de 10" e irá al 10º, 20º, 30º y 40º lugar, pero como el 20º y 40º ya están ocupados, entonces irá sólo al 10º y 30º lugar
para el 5 hacemos 40 / 5 = 8 hacemos "5 saltos de 8" e irá al 8º, 16º, 24º, 32º y 40º lugar, pero como el 40º ya está ocupado, entonces irá sólo al 8º, 16º, 24º y 32º
veamos como queda hasta ahora
para el 8 hacemos 40 / 8 = 5 hacemos "8 saltos de 5" e irá al 5º, 10º, 15º, 20º, 25º, 30º, 35º y 40º lugar, pero como el 10º, 20º, 30º y 40º ya están ocupados, entonces irá sólo al 5º, 15º, 25º y 35º
para el 10 hacemos 40 / 10 = 4 hacemos "10 saltos de 4" e irá al 4º, 8º, 12º, 16º, 20º, 24º, 28º, 32º, 36º y 40º lugar, pero sólo quedan libres el 4º, 12º, 28º y 36º
para el 20 hacemos 40 / 20 = 2 hacemos "20 saltos de 2" y acá sólo podrán ocupar el 2º, 6º, 14º, 18º, 22º, 26º, 34º y 38º
por último, para el 40 simplemente lo asociamos con las bases restantes.
Y aquí tenemos la buscada cadena de bases del 41 con todos sus Cp
Y ahora se nos antoja conocer cual será la longitud del período del 41 en, por ejemplo, la base 191
Para eso dividimos 191 en 41 y el resto corresponderá a la base buscada
191 = 41 . 4 + 27
entonces el primo 41 en la base 191 tendrá el mismo Cp que en la base 27, o sea 8 cifras
comprobemos
en base 191 1 / 41 = 0,4(125)(149)(13)(186)(65)(41)(177)... efectivamente son 8 cifras.
No hay comentarios:
Publicar un comentario