Raíces Primitivas

Más allá del uso de las raíces primitivas en variadas cuestiones matemáticas, acá simplemente cada raíz nos indicará la menor base numérica en donde un número primo P tendrá longitud del período Cp igual a P-1.

Luego esa raíz primitiva nos ayudará a fabricar la cadena de bases para cada primo.

Por ejemplo, para el primo  23,  recién en la base  5  tendrá  Cp=22. Entonces su raíz primitiva será  5. 
En la siguiente tabla podemos ver el valor de dichas raíces para los primos menores a 200.

La tabla nos muestra que el primo  191  tiene una raíz primitiva igual a  19, número bastante mayor a los demás, que sólo tienen un dígito.

Pero esto es apenas una casualidad, pues si revisamos los primos hasta el 4000, casi siempre se verán raíces pequeñas. Las pocas excepciones serán la de los primos  409,  3361 y 2161, donde valen  21, 22  y 23 respectivamente.

Algunas aproximaciones

Hagamos  1 / 7 = 0,142857...      siendo el  7  uno de los dos primos que tiene 6 cifras en su período

Este período,  142857, entre muchas curiosidades también tiene la siguiente:

tomemos sus cifras al revés:  758241

ahora lo partimos por la mitad y hacemos el cociente entre ambas mitades, mostrando sus dos primeras cifras decimales

758 / 241 = 3,14       y tenemos el conocido número  π

Ahora hagamos  1 / 13 = 0,076923...      siendo el  13  el otro primo que tiene 6 cifras en su período

tomemos sus cifras al revés:  329670

y hacemos lo mismo que antes

329 / 670 = 0,49       y ahora tenemos el logaritmo de  π  con dos cifras decimales exactas.

Es conocida la excelente aproximación dada por el chino Zu Chongzhi allá por el siglo V, que vincula los tres primeros números impares con  π

113355

se parte en dos mitades:  113    355    y se hace el cociente entre ambas

355 / 113 = 3,141592       y tenemos a  π, con nada menos que seis cifras decimales exactas

Si efectuamos el desarrollo de varios períodos, veremos que el primo  607  presenta dígitos adecuados como para vincularlo con el también conocido número  e

buscando el numerador apropiado, conseguimos el cociente

1650 / 607 = 2,71828       y tenemos a  e con cinco cifras decimales exactas.

π  y  e  son números irracionales, por lo que resulta curioso que se los pueda asociar con números pequeños y conseguir aproximaciones razonables.

Por ejemplo, si utilizamos al  7  como denominador, obtendremos dos cifras decimales exactas para cada uno :

π = 22 / 7 = 3,14

e = 19 / 7 = 2,71

Por otra parte, si jugamos un poco con el número  5, conseguiremos una rareza.

Usemos  5  dígitos (y una coma) para mostrar al irracional   e

e = 2,7182

Luego miremos los siguientes números

878    y    323

donde cada dígito difiere en  5, pues  8-3=5,  7-2=5  y  8-3=5

y hacemos su cociente     878 / 323 = 2,7182     y aparece nuestro  e = 2,7182

Pero no es el único caso.

Al principio vimos que el  7  y el  13  se relacionaban con  π

entonces hacemos su producto     7.13 = 91

Ahora el  91  entra al juego

791    y   291

ambos terminan en  91, pero tienen a su primer dígito también con diferencia de  5, pues   7-2=5 

y resulta que     791 / 291 = 2,7182     y vuelve a aparecer nuestro  e = 2,7182

Pura fantasía, ¿o será qué todo tiene relación con todo?

Fórmula para las Sumas escalonadas

Antes habíamos visto que los períodos podían obtenerse mediante alguna suma escalonada particular, como en el caso del  142857 (período del  7).

Igualmente no es el tipo de casos que investigaremos ahora.

Lo que haremos a continuación será sumar escalonadamente una sucesión de números, que obtendremos a partir de una determinada resta.

Por ejemplo, para lograr el período de 13 cifras de   1 / 79 = 0,0126582278481...

hacemos  100 – 79 = 21  y  tenemos presente estos dígitos (el  2  y el 1 )

comenzamos la sucesión con los términos  0  y  1.

y construiremos cada nuevo término sumando la multiplicación del último por  2  con la del anteúltimo por  1

entonces el tercer término será    0 . 1 + 1 . 2 = 2

0   1   2  

el cuarto término será    1 . 1 + 2 . 2 = 5

0   1   2   5

el quinto será    2 . 1 + 5 . 2 = 12

0   1   2   5   12

el sexto será    5 . 1 + 12 . 2 = 29

0   1   2   5   12   29

seguimos así y conseguimos la sucesión:

0   1   2   5   12   29   70   169   408   985   2378   5741   13860   33461   .....

Ahora hagamos su suma escalonada

 

Y vemos ir apareciendo el período del número  79  con sus 13 cifras.

Otro ejemplo interesante se produce cuando hacemos esto mismo con el número 89

siempre la sucesión comenzará con los términos  0  y  1.

luego hacemos  100 – 89 = 11

entonces el tercer término será    0 . 1 + 1 . 1 = 1

0   1   1

el cuarto término será    1 . 1 + 1 . 1 = 2

0   1   1   2

el quinto será    1 . 1 + 2 . 1 = 3

0   1   1   2   3

el sexto será    2 . 1 + 3 . 1 = 5

0   1   1   2   3   5

el séptimo será    3 . 1 + 5 . 1 = 8

0   1   1   2   3   5   8

seguimos así, que es simplemente sumar los dos últimos términos conseguidos, y obtenemos la sucesión:

0   1   1   2   3   5   8   13   21   34   55   89   144   233   377   610   987   1597   .....

que no es otra que la conocida “sucesión de Fibonacci”

Ahora hagamos también su suma escalonada

Y vemos ir apareciendo el período del número  89  con unas veinte cifras de su período, que tiene 44.

Por último veamos un ejemplo más vistoso, el del número  97, cuyo desarrollo decimal es

                

                 1 / 97 = 0,0103092783505..... (el período tiene 96 cifras)

por supuesto, la sucesión comenzará con los términos  0  y  1.

luego hacemos  100 – 97 = 03

entonces el tercer término será    0 . 3 + 1 . 0 = 0

0   1   0

el cuarto término será    1 . 3 + 0 . 0 = 3

0   1   0   3

el quinto será    0 . 3 + 3 . 0 = 0

0   1   0   3   0

el sexto será    3 . 3 + 0 . 0 = 9

0   1   0   3   0   9

seguimos así, que es poner el triple de cada término con ceros intercalados, y tendremos la sucesión:

0   1   0   3   0   9   0   27   0   81   0   243   0   729   0   2187   0   6561   0   19683   0   59049   .....

Y hacemos su suma escalonada

Y vemos ir apareciendo el período del número  97  con veinte cifras de su período, que tiene 96.

Fórmula para los Nueves

En alguna entrada anterior habíamos observado que si partíamos a la mitad algunos períodos, y sumábamos dichas mitades, el resultado era todos nueves.

Algunos ejemplos:

1 / 7 = 0,142857...     donde  142 + 857 = 999

1 / 73 = 0,01369863...      donde  0136 + 9863 = 9999

1 / 133 = 0,007518796992481203...      donde  007518796 + 992481203 =  999999999

1 / 100001 = 0,0000099999...      donde  00000 + 99999 = 99999

Por supuesto que cuando la cantidad de cifras del período fuera impar, no sería posible partirlo en dos mitades.

Pero que dicha cantidad de cifras fuera par, tampoco garantizaba que la suma de sus mitades diera todos nueves, como pasaba en los siguientes ejemplos:

1 / 259 = 0,003861...      donde  003 + 861 = 864

1 / 21 = 0,047619...      donde  047 + 619 = 666

1 / 803 = 0,00124533...      donde  0012 + 4533 = 4545

Después de probar con algunos períodos partibles comienza a tomar forma cierta regularidad, pero no totalmente satisfactoria. Veamos:

Para empezar, todo primo lo cumple.

Luego, las potencias de todo primo lo cumplen.

Por último los números compuestos a veces lo cumplirán, pero otras veces no.

Desde ya el asunto estará ligado a la longitud del período  Cp  par que provoque cada número.

Así, por ejemplo, los que tengan todos sus factores primos con  Cp  de la forma

                          4 . N + 2     (2;6;10;14;18;22;26;30;34...)

parecen cumplirlo.

Hagamos algunos y, de paso, recordemos también la fórmula

                    Cp(A^a. B^b . C^c.  ...  . Z^z) =  [ Cp(A^a) ; Cp(B^b) ; Cp(C^c) ; ... ; Cp(Z^z) ]

donde este mínimo común múltiplo permitía conocer el  Cp  de todo número compuesto.

Ahora sí veamos algunos ejemplos:

77 = 7 . 11     Cp(7.11) = [ Cp(7) ; Cp(11) ] = [ 6 ; 2 ] = 6

                      1 / 77 = 0,012987...        012 + 987 =  999

118183 = 13 . 9091     Cp(13.9091) = [ Cp(13) ; Cp(9091) ] = [ 6 ; 10 ] = 30

                                    1 / 118183 = 0,000008461453846999991538546153...   

                                                    000008461453846 +

                                                    999991538546153

                                                =  999999999999999

4579 = 19 . 241     Cp(19.241) = [ Cp(19) ; Cp(241) ] = [ 18 ; 30 ] = 90

                   1 / 4579 = 0,000218388294387420834243284559947586809347018

                                       999781611705612579165756715440052413190652981... 

                               000218388294387420834243284559947586809347018 +

                               999781611705612579165756715440052413190652981   

                            = 999999999999999999999999999999999999999999999

847 = 7 . 11 . 11     Cp(7.11.11) = [ Cp(7) ; 11.Cp(11) ] = [ 6 ; 11.2 ] = 66

1 / 847 = 0,001180637544273907910271546635182998819362455726092089728453364817...   

                                         001180637544273907910271546635182 +

                                         998819362455726092089728453364817

                                      = 999999999999999999999999999999999

Por otra parte, los números compuestos que no tengan todos sus factores primos con  Cp  de la forma

                          4 . N + 2     (2;6;10;14;18;22;26;30;34...)

parecen no cumplirlo, como pasa con los ejemplos citados al principio:

259 = 7 . 37      Cp(7.37) = [ Cp(7) ; Cp(37) ] = [ 6 ; 3 ] = 6    (3  no es de la forma  4 . N + 2)    

                         1 / 259 = 0,003861...      003 + 861 = 864

21 = 3 . 7      Cp(3.7) = [ Cp(3) ; Cp(7) ] = [ 1 ; 6 ] = 6    (1  no es de la forma  4 . N + 2)    

                     1 / 21 = 0,047619...      047 + 619 = 666

803 = 11 . 73      Cp(11.73) = [ Cp(11) ; Cp(73) ] = [ 2 ; 8 ] = 6    (8  no es de la forma  4 . N + 2)    

                           1 / 803 = 0,00124533...      0012 + 4533 = 4545

Pero hay otros números compuestos que lo cumplen:

2929 = 29 . 101     Cp(29.101) = [ Cp(29) ; Cp(101) ] = [ 28 ; 4 ] = 28        28 – 4 = 24

                                    1 / 2929 = 0,0003414134516899965858654831...   

                             00034141345168 + 99965858654831 =  99999999999999

357641 = 101 . 3541     Cp(101.3541) = [ Cp(101) ; Cp(3541) ] = [ 4 ; 20 ] = 20        20 – 4 = 16

                                    1 / 357641 = 0,00000279609999972039...   

                                  0000027960 + 9999972039 =  9999999999

1000001 = 101 . 9901     Cp(101.9901) = [ Cp(101) ; Cp(9901) ] = [ 4 ; 12 ] = 12        12 – 4 = 8

                           1 / 1000001 = 0,000000999999...      000000 + 999999 =  999999

10001 = 73 . 137     Cp(73.137) = [ Cp(73) ; Cp(137) ] = [ 8 ; 8 ] = 8        8 – 8 = 0

                               1 / 10001 = 0,00009999...      0000 + 9999 =  9999

al observalos puede notarse que la resta de sus  Cp  obedece a la forma    8 . N  (0;8;16;24;32...)

Pero esto no siempre es así, pues:

1241 = 73 . 17     Cp(73.17) = [ Cp(73) ; Cp(17) ] = [ 8 ; 16 ] = 16        16 – 8 = 8

                                               1 / 1241 = 0,0008058017727639...   

                                            00080580 + 17727639 =  17808219

48361 = 137 . 353     Cp(137.353) = [ Cp(137) ; Cp(353) ] = [ 8 ; 32 ] = 32        32 – 8 = 24

                                   1 / 48361 = 0,00002067781890366204172783854759...   

                             0000206778189036 + 6204172783854759 =  6204379562043795

entonces la cosa no funciona.

Cuando los Unos son Primos

La factorización de los unos en la base 2 tiene que ver con los números de Mersenne. Y cuando esos unos son primos, entonces son los Primos de Mersenne.

De la misma manera podemos obtenerlos en las demás bases numéricas.

De hecho la factorización de los unos en nuestra acostumbrada base 10 es la más conocida.

Ahora veamos una tabla que muestra cuando cierta cantidad  U  de unos resulta ser un número primo (nos limitaremos a los valores primos de  U,  ya que en los demás valores esto nunca ocurrirá).

Así veremos, por ejemplo, que en la base 10  la cantidad  U=2 (2 unos), U=19 (19 unos) y  U=23  (23 unos) son números primos  P. Y el próximo será  U=317 (317 unos).

Curiosidad en la factorización de los Unos

Hagamos lo mismo que en la entrada anterior, pero en otra base numérica.

Elijamos la base 9, la cual mostrará una curiosidad.

U=1)    1

U=2)    10 = 2 . 5     5 – 1  es divisible por  2

U=3)    91 = 7 . 13     7 – 1   y   13 – 1    son divisibles por  3

U=4)    820 = 2 . 2 . 5 . 41     41 – 1  es divisible por  4

U=5)    7381 = 11 . 11 . 61     11 – 1   y   61 – 1    son divisibles por  5

U=6)    66430 = 2 . 5 . 7 . 13 . 73     73 – 1    es divisible por  6

U=7)    597871 = 547 . 1093     547 – 1   y   1093 – 1    son divisibles por  7  

U=8)    5380840 = 2 . 2 . 2 . 5 . 17 . 41 . 193     17 – 1   y   193 – 1    son divisibles por  8

U=9)    48427561 = 7 . 13 . 19 . 37 . 757     19 – 1   y   37 – 1   y   757 – 1    son divisibles por  9

U=10)    435848050 = 2 . 5 . 5 . 11 . 11 . 61 . 1181     1181 – 1  es divisible por  10

U=11)    3922632451 = 23 . 67 . 661 . 3851   23 – 1  y  67 – 1  y  661 – 1   y  3851 – 1   son divisibles por  11

U=12)    35303692060 = 2 . 2 . 5 . 7 . 13 . 41 . 73 . 6481     6481 – 1  es  divisible por  12

U=13)    317733228541 = 398581 . 797161     398581 – 1   y   797161 – 1    son divisibles por  13

La cuestión de la divisibilidad se sigue cumpliendo como en la entrada anterior, pero la curiosidad radica en notar que cuando la factorización es de sólo dos primos, uno será el doble menos uno del otro. Aquí se da en los casos

U=3)      7 . 2  – 1 = 13

U=7)      547 . 2  – 1 = 1093

U=13)    398581 . 2  – 1 = 797161

De todos modos esto también se ve en las demás  U  impares, si acomodamos convenientemente sus factores

U=5)      61 . 2  – 1 = 11 . 11

U=9)      7 . 19 . 37 . 2  – 1 = 13 . 757

U=11)    67 . 661 . 2  – 1 = 23 . 3851

Algo parecido también se da en las  U  pares, pero sumando 1 en lugar de restar 1.

U=2)      2 . 2  + 1 = 5

U=4)      2 . 2 . 5 . 2  + 1 = 41

U=6)      2 . 7 . 13 . 2  + 1 = 5 . 73

U=8)      2 . 2 . 2 . 5 . 41 . 2  + 1 = 17 . 193

U=10)    2 . 11 . 11 . 61 . 2  + 1 = 5 . 5 . 1181

U=12)    2 . 2 . 5 . 7 . 13 . 73 . 2  + 1 = 41 . 6481

Teniendo presente esta curiosidad, tal vez podría pensarse que cada factorización de unos en cada base podría poseer alguna regularidad similar a la observada aquí.

Por lo pronto, en la base 2 (donde se llaman Números de Mersenne) se nota algo parecido.

En las  U  pares se acomodan convenientemente los factores, se restan, y el resultado es 2.

Pero en las  U  impares puede ser que directamente sean primos (Primos de Mersenne) o la resta dé 66, como pasa en los casos U=9, U=11 y U=15. Luego, a partir de U=21, la cosa se descontrola y habría que investigar qué pasa a partir de ahí.

U=1)  1

U=2)  3 = primo

U=3)  7 = primo

U=4)  15 = 3 . 5        5 – 3 = 2   

U=5)  31 = primo

U=6)  63 = 3 . 3 . 7        3 . 3 – 7 = 2  

U=7)  127 = primo

U=8)  255 = 3 . 5 . 17        17 – 3 . 5 = 2  

U=9)  511 = 7 . 73        73 – 7 = 66  

U=10)  1023 = 3 . 11 . 31        3 . 11 – 31 = 2       

                                          

U=11)  2047 = 23 . 89        89 – 23 = 66   

U=12)  4095 = 3 . 3 . 5 . 7 . 13        5 . 13 – 3 . 3 . 7 = 2       

U=13)  8191 = primo

U=14)  16383 = 3 . 43 . 127        3 . 43 – 127 = 2       

                                          

U=15)  32767 = 7 . 31 . 151        7 . 31 – 151 = 66   

U=16)  65535 = 3 . 5 . 17 . 257        257 – 3 . 5 . 17 = 2       

U=17)  131071 = primo

U=18)  262143 = 3 . 3 . 3 . 7 . 19 . 73        3 . 3 . 3 . 19 – 7 . 73 = 2       

U=19)  524287 = primo

U=20)  1048575 = 3 . 5 . 5 . 11 . 31 . 41        5 . 5 . 41 – 3 . 11 . 31 = 2       

U=21)  2097151 = 7 . 7 . 127 . 337       

U=22)  4194303 = 3 . 23 . 89 . 683        3 . 683 – 23 . 89 = 2       

U=23)  83888607 = 47 . 178481