Uso de la Calculadora

Si deseamos calcular un período de muchas cifras, resultaría interesante poseer algún programa informático a tal fin.
Pero si no lo tenemos, y no sabemos de otras posibilidades similares, entonces podremos conseguirlo usando simplemente una calculadora. Por ejemplo, la de Windows.

Ahora veamos la forma de hacerlo. 

Digamos que queremos conocer el período del primo  107.

Para ello hacemos  1 / 107  en la calculadora y obtenemos

0,0093457943 9252336448 5981308411 215

acá nos muestra 33 cifras, pero descartaremos la última (el 5) por no resultar segura, ya que la calculadora redondea (podría tratarse de un 4 seguido de un 6, 7, 8 ó 9, y nos redondea a 5).

Habiendo excluido esa última cifra, tomamos las cinco anteriores:  41121

y ponemos una coma al principio:  4,1121

multiplicamos por el primo  107:
4,1121 . 107 = 439,9947

y lo restamos al número entero más cercano: 440
440 - 439,9947 = 0,0053

multiplicamos por 100000
100000 . 0,0053 = 530

Ahora hacemos  530 / 107

530 / 107 = 4,9532710280373831775700934579439

Descartamos la coma y el último guarismo (el 9) :

4953271028037383177570093457943

que son las siguientes cifras correspondientes al período de  107

Ahora las unimos a las primeras conseguidas:

0,00934579439252336448598130841121 4953271028037383177570093457943

pero notamos que las últimas diez cifras se repiten, o sea que vuelve a aparecer el período. Entonces listo, ya lo conseguimos :

0,0093457943 9252336448 5981308411 2149532710 2803738317 757

son 53 cifras

De no haberse notado esa repetición de dígitos, entonces prosiguiríamos con el método.


Ahora probemos de conseguir el período de un número más grande, por ejemplo el del primo  111149

Para ello hacemos  1 / 111149  en la calculadora y obtenemos

0,0000089969 3204617225 5260956013 9992263

acá nos muestra 37 cifras, pero descartaremos la última (el 3) por el tema de no resultar segura.

Habiendo excluido esa última cifra, el método nos diría que tomemos las cinco anteriores. Pero al ser un número grande (111149), deberemos tomar más. Entonces tomemos las ocho cifras anteriores: 13999226

y ponemos una coma al principio:  1,3999226

multiplicamos por el primo  111149:
1,3999226 . 111149 = 155599,9970674

y lo restamos al número entero más cercano: 155600
155600 - 155599,9970674 = 0,0029326

multiplicamos por 100000000 (ocho ceros luego del 1, no cinco ceros como habíamos usado antes)
100000000 . 0,0029326 = 293260

Ahora hacemos  293260 / 111149

293260 / 111149 = 2,6384402918604755778279606654131

Descartamos la coma y el último dígito (el 1) :

2638440291860475577827960665413

que son las siguientes cifras correspondientes al período de  111149

Ahora las unimos a las primeras conseguidas:

0,000008996932046172255260956013999226  2638440291860475577827960665413

No aparece ninguna periodicidad, entonces seguimos:

Tomamos las ocho cifras últimas: 60665413

y ponemos una coma al principio:  6,0665413

multiplicamos por el primo  111149:
6,0665413 . 111149 = 674289,9989537

y lo restamos al número entero más cercano: 674290
674290 - 674289,9989537 = 0,0010463

multiplicamos por 100000000

100000000 . 0,0010463 = 104630

Ahora hacemos  104630 / 111149

104630 / 111149 = 0,94134899999100306795382774473904

Descartamos la coma :

094134899999100306795382774473904

excluimos la última (el 4)

y tenemos las siguientes cifras correspondientes al período de  111149

Ahora las unimos a las conseguidas anteriormente:

0,000008996932046172255260956013999226  2638440291860475577827960665413
09413489999910030679538277447390

Si bien no se nota periodicidad, lo que sí se advierte es "el tema de los nueves".
O sea que si tomamos las últimas cifras desde  9999910030679538277447390
y las sumamos a las primeras, obtenemos:

9999910030679538277447390 + 
0000089969320461722552609 =
9999999999999999999999999

Lo que nos permite asegurar que traspasamos la mitad del período, por lo que los dígitos siguientes serán más fáciles de averiguar :

9999999999999999999999999999999999999999999999999 -
5601399922626384402918604755778279606654130941348 =
4398600077373615597081395244221720393345869058651

Unimos todas y tenemos el período del  111149, que entonces tiene 148 cifras.

0,0000089969 3204617225 5260956013 
   9992262638 4402918604 7557782796 
   0665413094 1348999991 0030679538
   2774473904 3986000773 7361559708
   1395244221 7203933458 69058651...

Períodos vistosos

Uno de los períodos más estudiados es el del  7

1 / 7 = 0,142857...

Se conocen muchas curiosidades acerca del  142857.

Aportemos una de ellas : sus cifras aparecen en el cubo del número  75.

75³ = 421875

y ya que hablamos del  75, hagamos el cociente entre sus dos dígitos

5 / 7 = 0,714285...      por supuesto, también aquí aparecen

Recordemos que el  7  es uno de los dos únicos primos que tiene 6 cifras en su período.  El otro es el  13, pues    1 / 13 = 0,076923...
Entonces tenemos que el período del  13  es  076923

Ahora hagamos que el  7  ayude  al  13

¿habrá alguna potencia al respecto, digamos un cuadrado?

Sí que hay, está el      777² = 603729
que sorprendentemente tiene los mismos dígitos que el período del  13

El  7  fue de buena ayuda, pero
¿podrá ayudar al mismo fin algún que otro dígito, por ejemplo el 6, el 5, el 4,...?

quizás una combinación de ellos, digamos el  456

hacemos   456² = 207936    y de nuevo logramos obtener los mismos dígitos. 


Casualidades aparte, ahora veremos algunos números que presentan períodos curiosos.

En entradas anteriores habíamos trabajado con las sumas escalonadas y se habían mostrado algunos períodos llamativos, como por ejemplo

1 / 81 = 0, 0 1 2 3 4 5 6 7 9...    

1 / 97 = 0, 01 03 09 27.....     son 96 cifras

similar a este tenemos

1 / 98 = 0, 01 02 04 08 16 32.....     son 42 cifras

Veamos algunos más

1 / 891 = 0, 00 11 22 33 44 55 66 77 89...

1 / 8991 = 0, 000 111 222 333 444 555 666 777 889...

1 / 4455 = 0,0 00 22 44 66 89 11 33 55 78...

1 / 44955 = 0,0 000 222 444 666 889 111 333 555 778...

1 / 818181 = 0, 00000 1 22222 3 44444 5 66666 7.....     son 54 cifras

1 / 243243 = 0, 00000 4 11111 5 22222 6 33333 7.....     son 54 cifras 

Por último, un par especiales :

el período del  10201  (cuadrado de 101)
tiene 404 cifras y acá van todas 
                                       1 / 10201 = 0, 00 00
98 02 96 04 94 06 92 08 90 10 88 12 86 14 84 16 82 18 80 20
78 22 76 24 74 26 72 28 70 30 68 32 66 34 64 36 62 38 60 40
58 42 56 44 54 46 52 48 50 50 48 52 46 54 44 56 42 58 40 60
38 62 36 64 34 66 32 68 30 70 28 72 26 74 24 76 22 78 20 80
18 82 16 84 14 86 12 88 10 90 08 92 06 94 04 96 02 98 00 99
99 01 97 03 95 05 93 07 91 09 89 11 87 13 85 15 83 17 81 19
79 21 77 23 75 25 73 27 71 29 69 31 67 33 65 35 63 37 61 39
59 41 57 43 55 45 53 47 51 49 49 51 47 53 45 55 43 57 41 59
39 61 37 63 35 65 33 67 31 69 29 71 27 73 25 75 23 77 21 79
19 81 17 83 15 85 13 87 11 89 09 91 07 93 05 95 03 97 01 99...

y el período del  9801, con sus 198 cifras
                                       1 / 9801 = 0,
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 99...

Más Cadenas de Bases

En la entrada anterior vimos una tabla con las raíces primitivas de cada primo  P  menor a 200.
En nuestro estudio, cada raíz indicará la menor base numérica en donde la longitud del período  Cp  es máxima, o sea donde vale  P-1.
Y a partir de ella puede empezar a construirse la cadena de bases.

En alguna entrada anterior habíamos hecho dicha cadena para el primo  13, cuya raíz primitiva es  2.

Ahora la haremos para el primo  7, cuya raíz es  3

entonces el 1º eslabón será  3
el 2º será   3.3=9,  pero como  9  es mayor que  7, entonces ponemos su resta  9-7 = 2
para el 3º eslabón tomamos ese  2  y hacemos   2.3 = 6
para el 4º sería   6.3=18    18-7=11    11-7 = 4
el 5º será   4.3=12    12-7 = 5
por último el 6º es   5.3=15    15-7=8    8-7 = 1   (de todos modos el último eslabón siempre valdrá  1)

Entonces la cadena de bases para el primo  7  es :

    3      2      6      4      5      1

Luego los posibles  Cp  del  7  serán los divisores de 7-1=6, o sea  6, 3, 2 y 1

para el  1  hacemos  6 / 1 = 6  hacemos "1 salto de 6" e irá al 6º lugar

para el  2  hacemos  6 / 2 = 3  hacemos "2 saltos de 3" e irá al 3º y 6º lugar, pero como el 6º ya está ocupado, entonces irá sólo al 3º

para el  3  hacemos  6 / 3 = 2  hacemos "3 saltos de 2" e irá al 2º, 4º y 6º lugar, pero como el 6º ya está ocupado, entonces irá sólo al 2º y 4º lugar

para el  6  hacemos  6 / 6 = 1  y simplemente lo asociaremos con las bases restantes, o sea la 1º y la 5º

quedando

Ahora digamos que queremos saber cual será la longitud del período del  7  en, por ejemplo, la base  445

Para eso dividimos  445  en  7  y el resto corresponderá a la base buscada
445 = 7 . 63 + 4

entonces el primo  7  en la base  445  tendrá el mismo  Cp  que en la base  4, o sea  3  cifras

comprobemos 

en base 445   1 / 7 = 0,(63)(254)(127)...    efectivamente son  3  cifras.


Ya que estamos hagamos la cadena de bases para un primo más grande, por ejemplo el  41

Como podemos ver en la tabla de la entrada anterior, su raíz primitiva es  6

entonces el 1º eslabón será  6
el 2º será   6.6 = 36
el 3º será   36.6=216   por lo que habrá que restarle varias veces 41
lo hacemos   216-41-41-41-41-41 = 11
para el 4º sería   11.6=66    66-41 = 25
el 5º dará   25.6=150    150-41-41-41 = 27   
y así sucesivamente hasta llegar a completar su cadena de bases

Es de notar que sería suficiente con fabricar solamente la primera mitad de la cadena, ya que la otra mitad se consiguirá fácilmente restando cada eslabón al primo considerado, en este caso al  41. 
Entonces sería   41-6=35,   41-36=5,   41-11=30,   41-25=16,  etc

Luego los posibles  Cp  del  41  serán los divisores de 41-1=40, o sea  40, 20, 10, 8, 5, 4, 2 y 1

para el  1  hacemos  40 / 1 = 40  hacemos "1 salto de 40" e irá al 40º lugar

para el  2  hacemos  40 / 2 = 20  hacemos "2 saltos de 20" e irá al 20º y 40º lugar, pero como el 40º ya está ocupado, entonces irá sólo al 20º

para el  4  hacemos  40 / 4 = 10  hacemos "4 saltos de 10" e irá al 10º, 20º, 30º y 40º lugar, pero como el 20º y 40º ya están ocupados, entonces irá sólo al 10º y 30º lugar

para el  5  hacemos  40 / 5 = 8  hacemos "5 saltos de 8" e irá al 8º, 16º, 24º, 32º y 40º lugar, pero como el 40º ya está ocupado, entonces irá sólo al 8º, 16º, 24º y 32º

veamos como queda hasta ahora

seguimos

para el  8  hacemos  40 / 8 = 5  hacemos "8 saltos de 5" e irá al 5º, 10º, 15º, 20º, 25º, 30º, 35º y 40º lugar, pero como el 10º, 20º, 30º y 40º ya están ocupados, entonces irá sólo al 5º, 15º, 25º y 35º

para el  10  hacemos  40 / 10 = 4  hacemos "10 saltos de 4" e irá al 4º, 8º, 12º, 16º, 20º, 24º, 28º, 32º, 36º y 40º lugar, pero sólo quedan libres el 4º, 12º, 28º y 36º

para el  20  hacemos  40 / 20 = 2  hacemos "20 saltos de 2" y acá sólo podrán ocupar el 2º, 6º, 14º, 18º, 22º, 26º, 34º y 38º 

por último, para el  40  simplemente lo asociamos con las bases restantes. 

Y aquí tenemos la buscada cadena de bases del  41  con todos sus  Cp

Y ahora se nos antoja conocer cual será la longitud del período del  41  en, por ejemplo, la base  191

Para eso dividimos  191 en  41  y el resto corresponderá a la base buscada
191 = 41 . 4 + 27

entonces el primo  41  en la base  191  tendrá el mismo  Cp  que en la base  27, o sea  8  cifras

comprobemos 

en base 191   1 / 41 = 0,4(125)(149)(13)(186)(65)(41)(177)...    efectivamente son  8  cifras. 

Raíces Primitivas

Más allá del uso de las raíces primitivas en variadas cuestiones matemáticas, acá simplemente cada raíz nos indicará la menor base numérica en donde un número primo P tendrá longitud del período Cp igual a P-1.

Luego esa raíz primitiva nos ayudará a fabricar la cadena de bases para cada primo.

Por ejemplo, para el primo  23,  recién en la base  5  tendrá  Cp=22. Entonces su raíz primitiva será  5. 
En la siguiente tabla podemos ver el valor de dichas raíces para los primos menores a 200.

La tabla nos muestra que el primo  191  tiene una raíz primitiva igual a  19, número bastante mayor a los demás, que sólo tienen un dígito.

Pero esto es apenas una casualidad, pues si revisamos los primos hasta el 4000, casi siempre se verán raíces pequeñas. Las pocas excepciones serán la de los primos  409,  3361 y 2161, donde valen  21, 22  y 23 respectivamente.

Algunas aproximaciones

Hagamos  1 / 7 = 0,142857...      siendo el  7  uno de los dos primos que tiene 6 cifras en su período

Este período,  142857, entre muchas curiosidades también tiene la siguiente:

tomemos sus cifras al revés:  758241

ahora lo partimos por la mitad y hacemos el cociente entre ambas mitades, mostrando sus dos primeras cifras decimales

758 / 241 = 3,14       y tenemos el conocido número  π

Ahora hagamos  1 / 13 = 0,076923...      siendo el  13  el otro primo que tiene 6 cifras en su período

tomemos sus cifras al revés:  329670

y hacemos lo mismo que antes

329 / 670 = 0,49       y ahora tenemos el logaritmo de  π  con dos cifras decimales exactas.

Es conocida la excelente aproximación dada por el chino Zu Chongzhi allá por el siglo V, que vincula los tres primeros números impares con  π

113355

se parte en dos mitades:  113    355    y se hace el cociente entre ambas

355 / 113 = 3,141592       y tenemos a  π, con nada menos que seis cifras decimales exactas

Si efectuamos el desarrollo de varios períodos, veremos que el primo  607  presenta dígitos adecuados como para vincularlo con el también conocido número  e

buscando el numerador apropiado, conseguimos el cociente

1650 / 607 = 2,71828       y tenemos a  e con cinco cifras decimales exactas.

π  y  e  son números irracionales, por lo que resulta curioso que se los pueda asociar con números pequeños y conseguir aproximaciones razonables.

Por ejemplo, si utilizamos al  7  como denominador, obtendremos dos cifras decimales exactas para cada uno :

π = 22 / 7 = 3,14

e = 19 / 7 = 2,71

Por otra parte, si jugamos un poco con el número  5, conseguiremos una rareza.

Usemos  5  dígitos (y una coma) para mostrar al irracional   e

e = 2,7182

Luego miremos los siguientes números

878    y    323

donde cada dígito difiere en  5, pues  8-3=5,  7-2=5  y  8-3=5

y hacemos su cociente     878 / 323 = 2,7182     y aparece nuestro  e = 2,7182

Pero no es el único caso.

Al principio vimos que el  7  y el  13  se relacionaban con  π

entonces hacemos su producto     7.13 = 91

Ahora el  91  entra al juego

791    y   291

ambos terminan en  91, pero tienen a su primer dígito también con diferencia de  5, pues   7-2=5 

y resulta que     791 / 291 = 2,7182     y vuelve a aparecer nuestro  e = 2,7182

Pura fantasía, ¿o será qué todo tiene relación con todo?

Fórmula para las Sumas escalonadas

Antes habíamos visto que los períodos podían obtenerse mediante alguna suma escalonada particular, como en el caso del  142857 (período del  7).

Igualmente no es el tipo de casos que investigaremos ahora.

Lo que haremos a continuación será sumar escalonadamente una sucesión de números, que obtendremos a partir de una determinada resta.

Por ejemplo, para lograr el período de 13 cifras de   1 / 79 = 0,0126582278481...

hacemos  100 – 79 = 21  y  tenemos presente estos dígitos (el  2  y el 1 )

comenzamos la sucesión con los términos  0  y  1.

y construiremos cada nuevo término sumando la multiplicación del último por  2  con la del anteúltimo por  1

entonces el tercer término será    0 . 1 + 1 . 2 = 2

0   1   2  

el cuarto término será    1 . 1 + 2 . 2 = 5

0   1   2   5

el quinto será    2 . 1 + 5 . 2 = 12

0   1   2   5   12

el sexto será    5 . 1 + 12 . 2 = 29

0   1   2   5   12   29

seguimos así y conseguimos la sucesión:

0   1   2   5   12   29   70   169   408   985   2378   5741   13860   33461   .....

Ahora hagamos su suma escalonada

 

Y vemos ir apareciendo el período del número  79  con sus 13 cifras.

Otro ejemplo interesante se produce cuando hacemos esto mismo con el número 89

siempre la sucesión comenzará con los términos  0  y  1.

luego hacemos  100 – 89 = 11

entonces el tercer término será    0 . 1 + 1 . 1 = 1

0   1   1

el cuarto término será    1 . 1 + 1 . 1 = 2

0   1   1   2

el quinto será    1 . 1 + 2 . 1 = 3

0   1   1   2   3

el sexto será    2 . 1 + 3 . 1 = 5

0   1   1   2   3   5

el séptimo será    3 . 1 + 5 . 1 = 8

0   1   1   2   3   5   8

seguimos así, que es simplemente sumar los dos últimos términos conseguidos, y obtenemos la sucesión:

0   1   1   2   3   5   8   13   21   34   55   89   144   233   377   610   987   1597   .....

que no es otra que la conocida “sucesión de Fibonacci”

Ahora hagamos también su suma escalonada

Y vemos ir apareciendo el período del número  89  con unas veinte cifras de su período, que tiene 44.

Por último veamos un ejemplo más vistoso, el del número  97, cuyo desarrollo decimal es

                

                 1 / 97 = 0,0103092783505..... (el período tiene 96 cifras)

por supuesto, la sucesión comenzará con los términos  0  y  1.

luego hacemos  100 – 97 = 03

entonces el tercer término será    0 . 3 + 1 . 0 = 0

0   1   0

el cuarto término será    1 . 3 + 0 . 0 = 3

0   1   0   3

el quinto será    0 . 3 + 3 . 0 = 0

0   1   0   3   0

el sexto será    3 . 3 + 0 . 0 = 9

0   1   0   3   0   9

seguimos así, que es poner el triple de cada término con ceros intercalados, y tendremos la sucesión:

0   1   0   3   0   9   0   27   0   81   0   243   0   729   0   2187   0   6561   0   19683   0   59049   .....

Y hacemos su suma escalonada

Y vemos ir apareciendo el período del número  97  con veinte cifras de su período, que tiene 96.

Fórmula para los Nueves

En alguna entrada anterior habíamos observado que si partíamos a la mitad algunos períodos, y sumábamos dichas mitades, el resultado era todos nueves.

Algunos ejemplos:

1 / 7 = 0,142857...     donde  142 + 857 = 999

1 / 73 = 0,01369863...      donde  0136 + 9863 = 9999

1 / 133 = 0,007518796992481203...      donde  007518796 + 992481203 =  999999999

1 / 100001 = 0,0000099999...      donde  00000 + 99999 = 99999

Por supuesto que cuando la cantidad de cifras del período fuera impar, no sería posible partirlo en dos mitades.

Pero que dicha cantidad de cifras fuera par, tampoco garantizaba que la suma de sus mitades diera todos nueves, como pasaba en los siguientes ejemplos:

1 / 259 = 0,003861...      donde  003 + 861 = 864

1 / 21 = 0,047619...      donde  047 + 619 = 666

1 / 803 = 0,00124533...      donde  0012 + 4533 = 4545

Después de probar con algunos períodos partibles comienza a tomar forma cierta regularidad, pero no totalmente satisfactoria. Veamos:

Para empezar, todo primo lo cumple.

Luego, las potencias de todo primo lo cumplen.

Por último los números compuestos a veces lo cumplirán, pero otras veces no.

Desde ya el asunto estará ligado a la longitud del período  Cp  par que provoque cada número.

Así, por ejemplo, los que tengan todos sus factores primos con  Cp  de la forma

                          4 . N + 2     (2;6;10;14;18;22;26;30;34...)

parecen cumplirlo.

Hagamos algunos y, de paso, recordemos también la fórmula

                    Cp(A^a. B^b . C^c.  ...  . Z^z) =  [ Cp(A^a) ; Cp(B^b) ; Cp(C^c) ; ... ; Cp(Z^z) ]

donde este mínimo común múltiplo permitía conocer el  Cp  de todo número compuesto.

Ahora sí veamos algunos ejemplos:

77 = 7 . 11     Cp(7.11) = [ Cp(7) ; Cp(11) ] = [ 6 ; 2 ] = 6

                      1 / 77 = 0,012987...        012 + 987 =  999

118183 = 13 . 9091     Cp(13.9091) = [ Cp(13) ; Cp(9091) ] = [ 6 ; 10 ] = 30

                                    1 / 118183 = 0,000008461453846999991538546153...   

                                                    000008461453846 +

                                                    999991538546153

                                                =  999999999999999

4579 = 19 . 241     Cp(19.241) = [ Cp(19) ; Cp(241) ] = [ 18 ; 30 ] = 90

                   1 / 4579 = 0,000218388294387420834243284559947586809347018

                                       999781611705612579165756715440052413190652981... 

                               000218388294387420834243284559947586809347018 +

                               999781611705612579165756715440052413190652981   

                            = 999999999999999999999999999999999999999999999

847 = 7 . 11 . 11     Cp(7.11.11) = [ Cp(7) ; 11.Cp(11) ] = [ 6 ; 11.2 ] = 66

1 / 847 = 0,001180637544273907910271546635182998819362455726092089728453364817...   

                                         001180637544273907910271546635182 +

                                         998819362455726092089728453364817

                                      = 999999999999999999999999999999999

Por otra parte, los números compuestos que no tengan todos sus factores primos con  Cp  de la forma

                          4 . N + 2     (2;6;10;14;18;22;26;30;34...)

parecen no cumplirlo, como pasa con los ejemplos citados al principio:

259 = 7 . 37      Cp(7.37) = [ Cp(7) ; Cp(37) ] = [ 6 ; 3 ] = 6    (3  no es de la forma  4 . N + 2)    

                         1 / 259 = 0,003861...      003 + 861 = 864

21 = 3 . 7      Cp(3.7) = [ Cp(3) ; Cp(7) ] = [ 1 ; 6 ] = 6    (1  no es de la forma  4 . N + 2)    

                     1 / 21 = 0,047619...      047 + 619 = 666

803 = 11 . 73      Cp(11.73) = [ Cp(11) ; Cp(73) ] = [ 2 ; 8 ] = 6    (8  no es de la forma  4 . N + 2)    

                           1 / 803 = 0,00124533...      0012 + 4533 = 4545

Pero hay otros números compuestos que lo cumplen:

2929 = 29 . 101     Cp(29.101) = [ Cp(29) ; Cp(101) ] = [ 28 ; 4 ] = 28        28 – 4 = 24

                                    1 / 2929 = 0,0003414134516899965858654831...   

                             00034141345168 + 99965858654831 =  99999999999999

357641 = 101 . 3541     Cp(101.3541) = [ Cp(101) ; Cp(3541) ] = [ 4 ; 20 ] = 20        20 – 4 = 16

                                    1 / 357641 = 0,00000279609999972039...   

                                  0000027960 + 9999972039 =  9999999999

1000001 = 101 . 9901     Cp(101.9901) = [ Cp(101) ; Cp(9901) ] = [ 4 ; 12 ] = 12        12 – 4 = 8

                           1 / 1000001 = 0,000000999999...      000000 + 999999 =  999999

10001 = 73 . 137     Cp(73.137) = [ Cp(73) ; Cp(137) ] = [ 8 ; 8 ] = 8        8 – 8 = 0

                               1 / 10001 = 0,00009999...      0000 + 9999 =  9999

al observalos puede notarse que la resta de sus  Cp  obedece a la forma    8 . N  (0;8;16;24;32...)

Pero esto no siempre es así, pues:

1241 = 73 . 17     Cp(73.17) = [ Cp(73) ; Cp(17) ] = [ 8 ; 16 ] = 16        16 – 8 = 8

                                               1 / 1241 = 0,0008058017727639...   

                                            00080580 + 17727639 =  17808219

48361 = 137 . 353     Cp(137.353) = [ Cp(137) ; Cp(353) ] = [ 8 ; 32 ] = 32        32 – 8 = 24

                                   1 / 48361 = 0,00002067781890366204172783854759...   

                             0000206778189036 + 6204172783854759 =  6204379562043795

entonces la cosa no funciona.