Sumas escalonadas

Los períodos también presentan la curiosidad de poder obtenerse mediante alguna suma escalonada particular.

Por ejemplo:   1 / 7 = 0,142857...

Tenemos el  142857  que también puede lograrse haciendo la suma escalonada de las potencias de 2 multiplicadas por 7, dejando que cada escalón asome dos cifras:

   

 

El  142857  también puede obtenerse haciendo la suma escalonada (pero para el otro lado) de las potencias de 5 multiplicadas por 7, dejando que cada escalón asome una cifra:

Algo más simple se muestra sumando escalonadamente los números desde el cero:

Siendo  012345679  el período provocado por el 81: 
        
1 / 81 = 0,012345679...

¿Será que todos los períodos pueden formarse mediante alguna suma escalonada particular? 

Partiendo el Período por la mitad

Hagamos algunos períodos de números primos:

1 / 7 = 0,142857...   Cp=6

1 / 13 = 0,076923...   Cp=6

1 / 137 = 0,00729927...   Cp=8

Y veamos que pasa cuando partimos el período en dos mitades y sumamos:

para el    7     142 + 857 = 999

para el   13     076 + 923 = 999

para el  137     0072 + 9927 = 9999

Parece ser que el resultado será siempre todos nueves. Claro que eso sólo pasará cuando el Cp sea par, ya que cuando sea impar no se podrá partir en dos mitades.

Los cuadrados de los primos también parecen cumplirlo:

1 / 49 = 0,0204081632 6530612244 8979591836 7346938775 51...   Cp=42
               020408163265306122448 + 979591836734693877551 = 999999999999999999999                                                           
Ahora hagamos algunos períodos de números no primos:

1 / 77 = 0,012987...   Cp=6     012 + 987 =  999

1 / 91 = 0,010989...   Cp=6     010 + 989 =  999

1 / 133 = 0,007518796992481203...   Cp=18     007518796 + 992481203 =  999999999

Parece que también cumplen con lo de los nueves, pero no es así.
Veamos estos otros ejemplos:

1 / 63 = 0,015873...   Cp =6     015 + 873 = 888

1 / 153 = 0,0065359477124183...   Cp=16     00653594 + 77124183 = 77777777

1 / 21 = 0,047619...   Cp =6     047 + 619 = 666

1 / 117 = 0,008547...   Cp=6     008 + 547 = 555

1 / 51 = 0,0196078431372549...   Cp=16     01960784 + 31372549 = 33333333

1 / 171 = 0,005847953216374269...   Cp=18     005847953 + 216374269 = 222222222

No cumplen lo de los nueves, pero salen todos ochos, sietes, seises, etc.

De todos modos esto último tampoco se cumple siempre, pues:

1 / 119 = 0,0084033613 4453781512 6050420168 0672268907 56302521...   Cp=48
008403361344537815126050 + 420168067226890756302521 =  
428571 428571 428571 428571

1 / 187 = 0,0053475935828877...   Cp=16     00534759 + 35828877 = 36363636

1 / 189 = 0,005291...   Cp=6     005 + 291 = 296

Es de notar que esto de los nueves no sólo se consigue al partir un período por la mitad, sino que también puede ocurrir cuando se lo parte en más de dos pedazos.

Por ejemplo:

 1 / 7 = 0,142857...     14 + 28 + 57 = 99

1 / 13 = 0,076923...     07 + 69 + 23 = 99

1 / 31 = 0,032258064516129...    03225 + 80645 + 16129 = 99999    y    032 + 258 + 064 + 516 + 129 = 999

 
1 / 19 = 0,052631578947368421...   052631 + 578947 + 368421 = 999999

 

Cuadrados de Primos

Hagamos algunas inversas de Primos y también de sus cuadrados:


1 / 3 = 0,3...   Cp=1

1 / 9 = 0,1...   Cp=1


 1 / 7 = 0,142857...   Cp=6

1 / 49 = 0,0204081632 6530612244 8979591836 7346938775 51...   Cp=42

 
1 / 11 = 0,09...   Cp=2

1 / 121 = 0,0082644628 0991735537 19...   Cp=22


 1 / 13 = 0,076923...   Cp=6

1 / 169 = 0,0059171597 6331360946 7455621301 7751479289
                 9408284023 6686390532 5443786982 24852071...   Cp=78


Estos pocos casos parecen mostrar que el  Cp  del cuadrado de un primo  P  sería:
                      Cp(P²) =  P . Cp(P)

Efectivamente, para el 49 sería    Cp(49) = 7 . Cp(7) = 7 . 6 = 42
                    
                  para el 121 sería    Cp(121) = 11 . Cp(11) = 11 . 2 = 22

                  para el 169 sería    Cp(169) = 13 . Cp(13) = 13 . 6 = 78

Pero para el 9 no cumple pues   Cp(9) = 1
y si aplicamos la fórmula daría:
Cp(9) = 3 . Cp(3) = 3 . 1 = 3

 
¿Habrán algunos más que no lo cumplan?

Si revisamos los demás primos hasta el 1000, advertimos que todos lo cumplen, menos el primo 487.

Cp(487) = 486   y   Cp(487²) = 486

situación parecida a la del 3 y su cuadrado 9, por ser iguales sus Cp.

 Cp(3) = 1   y   Cp(3²) = 1

 
Seguramente habrán otros casos similares al 3 y al 487.

 

Primos y no primos

Hagamos algunas inversas de números primos:

 1 / 7 = 0,142857142857142857...

el período tiene seis cifras: 142857


1 / 11 = 0,090909...

el período tiene dos cifras: 09


1 / 13 = 0,07692307692076923...

el período tiene seis cifras: 076923


Estos pocos ejemplos parecen mostrar que la cantidad de cifras del período ("Cp") guarda relación con el primo considerado:

para    7     Cp=6   (6 es factor de 7-1)
para   11    Cp=2   (2 es factor de 11-1)
para   13    Cp=6   (6 es factor de 13-1)

Otros primos también parecen cumplir con esto:

1 / 17 = 0,0588235294117647...   Cp=16   (16 es factor de 17-1)

1 / 19 = 0,052631578947368421...   Cp=18   (18 es factor de 19-1)

1 / 37 = 0,027...   Cp=3   (3 es factor de 37-1)

1 / 41 = 0,02439...   Cp=5   (5 es factor de 41-1)

1 / 137 = 0,00729927...    Cp=8   (8 es factor de 137-1)

1 / 239 = 0,0041841...    Cp=7   (7 es factor de 239-1)


Veamos ahora algunas inversas de números no primos:

1 / 21 = 0,047619...   Cp=6   (pero 6 no es factor de 21-1)

1 / 33 = 0,03...    Cp=2   (2 es factor de 33-1)

1 / 39 = 0,025641...   Cp=6   (pero 6 no es factor de 39-1)

1 / 77 = 0,012987...   Cp=6   (pero 6 no es factor de 77-1)

1 / 91 = 0,010989...   Cp=6   (6 es factor de 91-1)

1 / 1517 = 0,000659195781147...  Cp=15   (pero 15 no es factor de 1517-1)


O sea que los No Primos no siempre cumplen con lo anterior, como sí parecen hacerlo los Primos.