Partiendo el Período por la mitad

Hagamos algunos períodos de números primos:

1 / 7 = 0,142857...   Cp=6

1 / 13 = 0,076923...   Cp=6

1 / 137 = 0,00729927...   Cp=8

Y veamos que pasa cuando partimos el período en dos mitades y sumamos:

para el    7     142 + 857 = 999

para el   13     076 + 923 = 999

para el  137     0072 + 9927 = 9999

Parece ser que el resultado será siempre todos nueves. Claro que eso sólo pasará cuando el Cp sea par, ya que cuando sea impar no se podrá partir en dos mitades.

Los cuadrados de los primos también parecen cumplirlo:

1 / 49 = 0,0204081632 6530612244 8979591836 7346938775 51...   Cp=42
               020408163265306122448 + 979591836734693877551 = 999999999999999999999                                                           
Ahora hagamos algunos períodos de números no primos:

1 / 77 = 0,012987...   Cp=6     012 + 987 =  999

1 / 91 = 0,010989...   Cp=6     010 + 989 =  999

1 / 133 = 0,007518796992481203...   Cp=18     007518796 + 992481203 =  999999999

Parece que también cumplen con lo de los nueves, pero no es así.
Veamos estos otros ejemplos:

1 / 63 = 0,015873...   Cp =6     015 + 873 = 888

1 / 153 = 0,0065359477124183...   Cp=16     00653594 + 77124183 = 77777777

1 / 21 = 0,047619...   Cp =6     047 + 619 = 666

1 / 117 = 0,008547...   Cp=6     008 + 547 = 555

1 / 51 = 0,0196078431372549...   Cp=16     01960784 + 31372549 = 33333333

1 / 171 = 0,005847953216374269...   Cp=18     005847953 + 216374269 = 222222222

No cumplen lo de los nueves, pero salen todos ochos, sietes, seises, etc.

De todos modos esto último tampoco se cumple siempre, pues:

1 / 119 = 0,0084033613 4453781512 6050420168 0672268907 56302521...   Cp=48
008403361344537815126050 + 420168067226890756302521 =  
428571 428571 428571 428571

1 / 187 = 0,0053475935828877...   Cp=16     00534759 + 35828877 = 36363636

1 / 189 = 0,005291...   Cp=6     005 + 291 = 296

Es de notar que esto de los nueves no sólo se consigue al partir un período por la mitad, sino que también puede ocurrir cuando se lo parte en más de dos pedazos.

Por ejemplo:

 1 / 7 = 0,142857...     14 + 28 + 57 = 99

1 / 13 = 0,076923...     07 + 69 + 23 = 99

1 / 31 = 0,032258064516129...    03225 + 80645 + 16129 = 99999    y    032 + 258 + 064 + 516 + 129 = 999

 
1 / 19 = 0,052631578947368421...   052631 + 578947 + 368421 = 999999