Sumas escalonadas

Los períodos también presentan la curiosidad de poder obtenerse mediante alguna suma escalonada particular.

Por ejemplo:   1 / 7 = 0,142857...

Tenemos el  142857  que también puede lograrse haciendo la suma escalonada de las potencias de 2 multiplicadas por 7, dejando que cada escalón asome dos cifras:

   

 

El  142857  también puede obtenerse haciendo la suma escalonada (pero para el otro lado) de las potencias de 5 multiplicadas por 7, dejando que cada escalón asome una cifra:

Algo más simple se muestra sumando escalonadamente los números desde el cero:

Siendo  012345679  el período provocado por el 81: 
        
1 / 81 = 0,012345679...

¿Será que todos los períodos pueden formarse mediante alguna suma escalonada particular?