Los Unos

Cuando hacemos la cuenta    1 / 7

eso significa que    1 = 7 . 0,142857 + (1 / 1000000)

operamos un poco y queda     10⁶ – 1 = 7 . 142857 = 999999 = 9 . 111111

son seis unos, lo cual se vincula con el hecho de que el Cp de 7 sea 6

De manera general, si se factorizan los sucesivos números formados por todos unos, entonces iríamos averiguando los Cp de los primos presentes en cada factorización.

1

11

111 = 3 . 37

1111 = 11 . 101

11111 = 41 . 271

111111 = 3 . 7 . 11 . 13 . 37

1111111 = 239 . 4649

11111111 = 11 . 73 . 101 . 137

Por el momento dejemos de lado al número 3

Vamos viendo que el 11 tiene como factor obvio al 11, entonces Cp(11) = 2

Luego el 111 tiene como factor al 37, entonces Cp(37) = 3

El 1111 tiene como factores al 11 (que ya había salido antes) y al 101, entonces Cp(101) = 4

El 11111 tiene como factores al 41 y al 271, entonces Cp(41) = 5  y  Cp(271) = 5

El 111111 tiene como factores al 11 y la 37 (que ya habían salido antes), además del 7 y del 13, entonces Cp(7) = 6  y  Cp(13) = 6

El 1111111 tiene como factores al 239 y al 4649, entonces Cp(239) = 7  y  Cp(4649) = 7

El 11111111 tiene como factores al 11 y al 101 (que ya habían salido antes), además del  73 y del 137, entonces Cp(73) = 8  y  Cp(137) = 8

Y así sucesivamente.

Además, cada factorización indicará a los únicos primos en tener ese determinado  Cp. 
Así, por ejemplo, la factorización de  11111  señalará al  41  y al  271  como los únicos primos en tener 5 cifras en su período.

Con respecto al número 3, que es factor del 111, eso implicaría Cp(3) = 3. Pero su Cp es igual a 1, cosa que se entiende pues es factor de  9  y antes habíamos "ignorado" al  9  en la ecuación del principio de la entrada. 

¿Habrá algún otro primo que provoque algún incoveniente parecido?, ¿qué tal el 487?