Antes habíamos
visto que los períodos podían obtenerse mediante alguna suma escalonada
particular, como en el caso del 142857 (período del 7).
Igualmente no es
el tipo de casos que investigaremos ahora.
Lo que haremos a
continuación será sumar escalonadamente una sucesión de números, que
obtendremos a partir de una determinada resta.
Por ejemplo, para
lograr el período de 13 cifras de 1 / 79
= 0,0126582278481...
hacemos 100
– 79 = 21 y tenemos
presente estos dígitos
(el 2 y el 1
)
comenzamos la
sucesión con los términos 0 y 1.
y construiremos
cada nuevo término sumando la multiplicación del último por 2 con la del anteúltimo por 1
entonces el
tercer término será 0 . 1 + 1 . 2
= 2
0
1 2
el cuarto término
será 1 . 1
+ 2 . 2 = 5
0
1 2 5
el quinto
será 2 . 1
+ 5 . 2 = 12
0
1 2 5 12
el sexto
será 5 . 1
+ 12 . 2 = 29
0
1 2 5 12 29
seguimos así y
conseguimos la sucesión:
0
1 2 5 12 29
70 169 408 985 2378
5741 13860 33461 .....
Ahora hagamos su
suma escalonada
Y vemos ir
apareciendo el período del número 79
con sus 13 cifras.
Otro ejemplo
interesante se produce cuando hacemos esto mismo con el número 89
siempre la
sucesión comenzará con los términos 0
y 1.
luego
hacemos 100 – 89 = 11
entonces el
tercer término será 0 . 1 + 1 . 1
= 1
0
1 1
el cuarto término
será 1 . 1
+ 1 . 1 = 2
0
1 1 2
el quinto
será 1 . 1
+ 2 . 1 = 3
0
1 1 2 3
el sexto
será 2 . 1
+ 3 . 1 = 5
0
1 1 2 3 5
el séptimo
será 3 . 1
+ 5 . 1 = 8
0
1 1 2 3 5 8
seguimos así, que
es simplemente sumar los dos últimos términos conseguidos, y obtenemos la
sucesión:
0
1 1 2 3 5
8 13 21 34 55
89 144 233 377 610
987 1597 .....
que no es otra
que la conocida “sucesión de Fibonacci”
Ahora hagamos
también su suma escalonada
Y vemos ir
apareciendo el período del número 89
con unas veinte cifras de su período, que tiene 44.
Por último veamos
un ejemplo más vistoso, el del número 97,
cuyo desarrollo decimal es
1 / 97 = 0,0103092783505..... (el período tiene
96 cifras)
por supuesto, la
sucesión comenzará con los términos 0
y 1.
luego
hacemos 100 – 97 = 03
entonces el
tercer término será 0 . 3 + 1 . 0
= 0
0
1 0
el cuarto término
será 1 . 3
+ 0 . 0 = 3
0
1 0 3
el quinto
será 0 . 3
+ 3 . 0 = 0
0
1 0 3 0
el sexto
será 3 . 3
+ 0 . 0 = 9
0
1 0 3 0 9
seguimos así, que
es poner el triple de cada término con ceros intercalados, y tendremos la
sucesión:
0
1 0 3 0 9
0 27 0 81 0
243 0 729 0 2187
0 6561 0 19683 0
59049 .....
Y hacemos su suma
escalonada
Y vemos ir
apareciendo el período del número 97
con veinte cifras de su período, que tiene 96.
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