Fórmula para los Nueves

En alguna entrada anterior habíamos observado que si partíamos a la mitad algunos períodos, y sumábamos dichas mitades, el resultado era todos nueves.

Algunos ejemplos:

1 / 7 = 0,142857...     donde  142 + 857 = 999

1 / 73 = 0,01369863...      donde  0136 + 9863 = 9999

1 / 133 = 0,007518796992481203...      donde  007518796 + 992481203 =  999999999

1 / 100001 = 0,0000099999...      donde  00000 + 99999 = 99999

Por supuesto que cuando la cantidad de cifras del período fuera impar, no sería posible partirlo en dos mitades.

Pero que dicha cantidad de cifras fuera par, tampoco garantizaba que la suma de sus mitades diera todos nueves, como pasaba en los siguientes ejemplos:

1 / 259 = 0,003861...      donde  003 + 861 = 864

1 / 21 = 0,047619...      donde  047 + 619 = 666

1 / 803 = 0,00124533...      donde  0012 + 4533 = 4545

Después de probar con algunos períodos partibles comienza a tomar forma cierta regularidad, pero no totalmente satisfactoria. Veamos:

Para empezar, todo primo lo cumple.

Luego, las potencias de todo primo lo cumplen.

Por último los números compuestos a veces lo cumplirán, pero otras veces no.

Desde ya el asunto estará ligado a la longitud del período  Cp  par que provoque cada número.

Así, por ejemplo, los que tengan todos sus factores primos con  Cp  de la forma

                          4 . N + 2     (2;6;10;14;18;22;26;30;34...)

parecen cumplirlo.

Hagamos algunos y, de paso, recordemos también la fórmula

                    Cp(A^a. B^b . C^c.  ...  . Z^z) =  [ Cp(A^a) ; Cp(B^b) ; Cp(C^c) ; ... ; Cp(Z^z) ]

donde este mínimo común múltiplo permitía conocer el  Cp  de todo número compuesto.

Ahora sí veamos algunos ejemplos:

77 = 7 . 11     Cp(7.11) = [ Cp(7) ; Cp(11) ] = [ 6 ; 2 ] = 6

                      1 / 77 = 0,012987...        012 + 987 =  999

118183 = 13 . 9091     Cp(13.9091) = [ Cp(13) ; Cp(9091) ] = [ 6 ; 10 ] = 30

                                    1 / 118183 = 0,000008461453846999991538546153...   

                                                    000008461453846 +

                                                    999991538546153

                                                =  999999999999999

4579 = 19 . 241     Cp(19.241) = [ Cp(19) ; Cp(241) ] = [ 18 ; 30 ] = 90

                   1 / 4579 = 0,000218388294387420834243284559947586809347018

                                       999781611705612579165756715440052413190652981... 

                               000218388294387420834243284559947586809347018 +

                               999781611705612579165756715440052413190652981   

                            = 999999999999999999999999999999999999999999999

847 = 7 . 11 . 11     Cp(7.11.11) = [ Cp(7) ; 11.Cp(11) ] = [ 6 ; 11.2 ] = 66

1 / 847 = 0,001180637544273907910271546635182998819362455726092089728453364817...   

                                         001180637544273907910271546635182 +

                                         998819362455726092089728453364817

                                      = 999999999999999999999999999999999

Por otra parte, los números compuestos que no tengan todos sus factores primos con  Cp  de la forma

                          4 . N + 2     (2;6;10;14;18;22;26;30;34...)

parecen no cumplirlo, como pasa con los ejemplos citados al principio:

259 = 7 . 37      Cp(7.37) = [ Cp(7) ; Cp(37) ] = [ 6 ; 3 ] = 6    (3  no es de la forma  4 . N + 2)    

                         1 / 259 = 0,003861...      003 + 861 = 864

21 = 3 . 7      Cp(3.7) = [ Cp(3) ; Cp(7) ] = [ 1 ; 6 ] = 6    (1  no es de la forma  4 . N + 2)    

                     1 / 21 = 0,047619...      047 + 619 = 666

803 = 11 . 73      Cp(11.73) = [ Cp(11) ; Cp(73) ] = [ 2 ; 8 ] = 6    (8  no es de la forma  4 . N + 2)    

                           1 / 803 = 0,00124533...      0012 + 4533 = 4545

Pero hay otros números compuestos que lo cumplen:

2929 = 29 . 101     Cp(29.101) = [ Cp(29) ; Cp(101) ] = [ 28 ; 4 ] = 28        28 – 4 = 24

                                    1 / 2929 = 0,0003414134516899965858654831...   

                             00034141345168 + 99965858654831 =  99999999999999

357641 = 101 . 3541     Cp(101.3541) = [ Cp(101) ; Cp(3541) ] = [ 4 ; 20 ] = 20        20 – 4 = 16

                                    1 / 357641 = 0,00000279609999972039...   

                                  0000027960 + 9999972039 =  9999999999

1000001 = 101 . 9901     Cp(101.9901) = [ Cp(101) ; Cp(9901) ] = [ 4 ; 12 ] = 12        12 – 4 = 8

                           1 / 1000001 = 0,000000999999...      000000 + 999999 =  999999

10001 = 73 . 137     Cp(73.137) = [ Cp(73) ; Cp(137) ] = [ 8 ; 8 ] = 8        8 – 8 = 0

                               1 / 10001 = 0,00009999...      0000 + 9999 =  9999

al observalos puede notarse que la resta de sus  Cp  obedece a la forma    8 . N  (0;8;16;24;32...)

Pero esto no siempre es así, pues:

1241 = 73 . 17     Cp(73.17) = [ Cp(73) ; Cp(17) ] = [ 8 ; 16 ] = 16        16 – 8 = 8

                                               1 / 1241 = 0,0008058017727639...   

                                            00080580 + 17727639 =  17808219

48361 = 137 . 353     Cp(137.353) = [ Cp(137) ; Cp(353) ] = [ 8 ; 32 ] = 32        32 – 8 = 24

                                   1 / 48361 = 0,00002067781890366204172783854759...   

                             0000206778189036 + 6204172783854759 =  6204379562043795

entonces la cosa no funciona.