Cuando los Unos son Primos

La factorización de los unos en la base 2 tiene que ver con los números de Mersenne. Y cuando esos unos son primos, entonces son los Primos de Mersenne.

De la misma manera podemos obtenerlos en las demás bases numéricas.

De hecho la factorización de los unos en nuestra acostumbrada base 10 es la más conocida.

Ahora veamos una tabla que muestra cuando cierta cantidad  U  de unos resulta ser un número primo (nos limitaremos a los valores primos de  U,  ya que en los demás valores esto nunca ocurrirá).

Así veremos, por ejemplo, que en la base 10  la cantidad  U=2 (2 unos), U=19 (19 unos) y  U=23  (23 unos) son números primos  P. Y el próximo será  U=317 (317 unos).

Curiosidad en la factorización de los Unos

Hagamos lo mismo que en la entrada anterior, pero en otra base numérica.

Elijamos la base 9, la cual mostrará una curiosidad.

U=1)    1

U=2)    10 = 2 . 5     5 – 1  es divisible por  2

U=3)    91 = 7 . 13     7 – 1   y   13 – 1    son divisibles por  3

U=4)    820 = 2 . 2 . 5 . 41     41 – 1  es divisible por  4

U=5)    7381 = 11 . 11 . 61     11 – 1   y   61 – 1    son divisibles por  5

U=6)    66430 = 2 . 5 . 7 . 13 . 73     73 – 1    es divisible por  6

U=7)    597871 = 547 . 1093     547 – 1   y   1093 – 1    son divisibles por  7  

U=8)    5380840 = 2 . 2 . 2 . 5 . 17 . 41 . 193     17 – 1   y   193 – 1    son divisibles por  8

U=9)    48427561 = 7 . 13 . 19 . 37 . 757     19 – 1   y   37 – 1   y   757 – 1    son divisibles por  9

U=10)    435848050 = 2 . 5 . 5 . 11 . 11 . 61 . 1181     1181 – 1  es divisible por  10

U=11)    3922632451 = 23 . 67 . 661 . 3851   23 – 1  y  67 – 1  y  661 – 1   y  3851 – 1   son divisibles por  11

U=12)    35303692060 = 2 . 2 . 5 . 7 . 13 . 41 . 73 . 6481     6481 – 1  es  divisible por  12

U=13)    317733228541 = 398581 . 797161     398581 – 1   y   797161 – 1    son divisibles por  13

La cuestión de la divisibilidad se sigue cumpliendo como en la entrada anterior, pero la curiosidad radica en notar que cuando la factorización es de sólo dos primos, uno será el doble menos uno del otro. Aquí se da en los casos

U=3)      7 . 2  – 1 = 13

U=7)      547 . 2  – 1 = 1093

U=13)    398581 . 2  – 1 = 797161

De todos modos esto también se ve en las demás  U  impares, si acomodamos convenientemente sus factores

U=5)      61 . 2  – 1 = 11 . 11

U=9)      7 . 19 . 37 . 2  – 1 = 13 . 757

U=11)    67 . 661 . 2  – 1 = 23 . 3851

Algo parecido también se da en las  U  pares, pero sumando 1 en lugar de restar 1.

U=2)      2 . 2  + 1 = 5

U=4)      2 . 2 . 5 . 2  + 1 = 41

U=6)      2 . 7 . 13 . 2  + 1 = 5 . 73

U=8)      2 . 2 . 2 . 5 . 41 . 2  + 1 = 17 . 193

U=10)    2 . 11 . 11 . 61 . 2  + 1 = 5 . 5 . 1181

U=12)    2 . 2 . 5 . 7 . 13 . 73 . 2  + 1 = 41 . 6481

Teniendo presente esta curiosidad, tal vez podría pensarse que cada factorización de unos en cada base podría poseer alguna regularidad similar a la observada aquí.

Por lo pronto, en la base 2 (donde se llaman Números de Mersenne) se nota algo parecido.

En las  U  pares se acomodan convenientemente los factores, se restan, y el resultado es 2.

Pero en las  U  impares puede ser que directamente sean primos (Primos de Mersenne) o la resta dé 66, como pasa en los casos U=9, U=11 y U=15. Luego, a partir de U=21, la cosa se descontrola y habría que investigar qué pasa a partir de ahí.

U=1)  1

U=2)  3 = primo

U=3)  7 = primo

U=4)  15 = 3 . 5        5 – 3 = 2   

U=5)  31 = primo

U=6)  63 = 3 . 3 . 7        3 . 3 – 7 = 2  

U=7)  127 = primo

U=8)  255 = 3 . 5 . 17        17 – 3 . 5 = 2  

U=9)  511 = 7 . 73        73 – 7 = 66  

U=10)  1023 = 3 . 11 . 31        3 . 11 – 31 = 2       

                                          

U=11)  2047 = 23 . 89        89 – 23 = 66   

U=12)  4095 = 3 . 3 . 5 . 7 . 13        5 . 13 – 3 . 3 . 7 = 2       

U=13)  8191 = primo

U=14)  16383 = 3 . 43 . 127        3 . 43 – 127 = 2       

                                          

U=15)  32767 = 7 . 31 . 151        7 . 31 – 151 = 66   

U=16)  65535 = 3 . 5 . 17 . 257        257 – 3 . 5 . 17 = 2       

U=17)  131071 = primo

U=18)  262143 = 3 . 3 . 3 . 7 . 19 . 73        3 . 3 . 3 . 19 – 7 . 73 = 2       

U=19)  524287 = primo

U=20)  1048575 = 3 . 5 . 5 . 11 . 31 . 41        5 . 5 . 41 – 3 . 11 . 31 = 2       

U=21)  2097151 = 7 . 7 . 127 . 337       

U=22)  4194303 = 3 . 23 . 89 . 683        3 . 683 – 23 . 89 = 2       

U=23)  83888607 = 47 . 178481

Grupo reducido de Primos

Recordemos que la factorización de los unos señala a los primos cuya longitud del período  Cp  es igual a la cantidad de unos factorizada.

Entonces la factorización de los unos mostrará que sólo determinados números primos podrán estar presentes en una determinada factorización.

Esos primos sólo podrán ser de la forma   P = U . N + 1   siendo  U  la cantidad de unos factorizada.

Esto también podría expresarse diciendo que  P – 1  será divisible por  U

No tendremos en cuenta a los primos que se vayan repitiendo en nuevas factorizaciones. Así, por ejemplo, el primo  37  aparece en la factorización de 111 (donde cumple lo antedicho), y luego vuelve a aparecer en la factorización de 111111, donde ya no lo tendremos en cuenta.

Entonces veamos lo que pasa en la base decimal (por supuesto que esto también será válido en las demás bases numéricas)

U=1)    1

U=2)    11 = primo     11 – 1  es divisible por  2

U=3)    111 = 3 . 37     37 – 1  es divisible por  3

U=4)    1111 = 11 . 101     101 – 1  es divisible por  4

U=5)    11111 = 41 . 271     41 – 1   y   271 – 1    son divisibles por  5

U=6)    111111 = 3 . 7 . 11 . 13 . 37     7 – 1   y   13 – 1    son divisibles por  6

U=7)    1111111 = 239 . 4649     239 – 1   y   4649 – 1    son divisibles por  7  

U=8)    11111111 = 11 . 73 . 101 . 137     73 – 1   y   137 – 1    son divisibles por  8

U=9)    111111111 = 3 . 3 . 37 . 333667     333667 – 1  es divisible por  9

U=10)    1111111111 = 11 . 41 . 271 . 9091     9091 – 1  es divisible por  10

U=11)    11111111111 = 21649 . 513239     21649 – 1   y   513239 – 1    son divisibles por  11

U=12)    111111111111 = 3 . 7 . 11 . 13 . 37 . 101 . 9901     9901 – 1  es  divisible por  12

U=13)    1111111111111 = 53 . 79 . 265371653     53 – 1  y  79 – 1  y  265371653 – 1   son divisibles por  13

La cuestión es que siempre tendremos un grupo reducido de posibles primos que podrían llegar a ser factores de una determinada factorización (y cuando la factorización sea de muchos más unos, el grupo será aún mucho más reducido).

Ejemplo: en el caso de los trece unos, veamos todos los números (hasta 1000) de la forma  P = U . N + 1

14   27   40   53   66   79   92   105   118   131   144   157   170   183   196   209   222   235   248   261   274   287   300   313   326   339   352   365   378   391   404   417   430   443   456   469   482   495   508   521   534   547   560   573   586   599   612   625   638   651   664   677   690   703   716   729   742   755   768   781   794   807   820   833   846   859   872   885   898   911   924   937   950   963   976   989

y ahora dejemos sólo los que son primos:

53   79   131   157   313   443   521   547   599   677   859   911   937

O sea que sólo estos pocos primos (hasta el 1000) podrían llegar a ser factores de los trece unos. De hecho el  53  y el  79  lo son. Pero no deberíamos esperar que lo cumplieran el 61, el 97 ó el 113 (por citar algunos) ya que no obedecen a la fórmula  P = U . N + 1.

Bases Cuadradas

Acá vemos una tabla que muestra los  Cp  de los primeros números primos en las primeras bases numéricas.

En rojo se indica cuando el  Cp  es el mayor posible, o sea cuando vale  (P – 1); por ejemplo, en la base decimal, el primo  29  tiene 28 cifras.

En dicha tabla se advierte que no todas las bases tienen estos  Cp  mayores. En particular las bases cuadradas (4, 9, 16, 25) parecen no presentar ningún caso.

Al estudiar las cadenas de bases vimos que todos los posibles  Cp  siempre se encuentran en algunas bases determinadas.
Pero al tener en cuenta que los  Cp  mayores nunca estarán presentes en las bases cuadradas, habría que analizar si ocurrirá algo similar con algún que otro valor de  Cp.

Los Unos en otras Bases

La factorización de los unos muestra a los primos cuya longitud del período  Cp  es igual a la cantidad de unos factorizada.
Además, cada factorización indicará a los únicos primos en tener ese determinado  Cp.
Así, por ejemplo, la factorización de  11111  señalará al  41  y al  271  como los únicos primos en tener 5 cifras en su período. 

En la base decimal tenemos:

1)  1

2)  11 = primo     Cp(11) = 2     1 / 11 = 0,09...

3)  111 = 3 . 37     Cp(37) = 3     1 / 37 = 0,027...   

4)  1111 = 11 . 101     Cp(101) = 4     1 / 101 = 0,0099...   

5)  11111 = 41 . 271     Cp(41) = 5     1 / 41 = 0,02439...     Cp(271) = 5     1 / 271 = 0,00369...

6)  111111 = 3 . 7 . 11 . 13 . 37     Cp(7) = 6     1 / 7 = 0,142857...     Cp(13) = 6     1 / 13 = 0,076923...    

7)  1111111 = 239 . 4649     Cp(239) = 7    1 / 239 = 0,0041841...     Cp(4649) = 7     1 / 4649 = 0,0002151...    

8)  11111111 = 11 . 73 . 101 . 137    Cp(73) = 8    1 / 73 = 0,01369863...     Cp(137) = 8   1 / 137 = 0,00729927...

                                                         

9)  111111111 = 3 . 3 . 37 . 333667     Cp(333667) = 9     1 / 333667 = 0,000002997...    

10)  1111111111 = 11 . 41 . 271 . 9091     Cp(9091) = 10     1 / 9091 = 0,0001099989...

11)  11111111111 = 21649 . 513239     Cp(21649) = 11     1 / 21649 = 0,00004619151...     Cp(513239) = 11     1 / 513239 = 0,00000194841

resulta raro ver que las tres últimas cifras de estos primos (239 y 649) sean las mismas que aparecen en la factorización de los siete unos.


12)  111111111111 = 3 . 7 . 11 . 13 . 37 . 101 . 9901     Cp(9901) = 12     1 / 9901 = 0,000100999899...    

13)  1111111111111 = 53 . 79 . 265371653    Cp(53) = 13     1 / 53 = 0,0188679245283...     Cp(79) = 13     1 / 79 = 0,0126582278481...     Cp(265371653) = 13   1 / 265371653 = 0,0000000037683...    

                                                                         

                                                                     

Para factorizar los unos en las otras bases numéricas, vamos a anotar dichos unos como estamos acostumbrados a hacerlo en la base decimal. Así, por ejemplo, el  111  en base 2 corresponderá al  7  en base 10, pues  2⁰  + 2^{1  +}  2²   = 7

En base 2

1)  1

2)  3 = primo     Cp(3) = 2    1 / 3 = 0,01...

3)  7 = primo     Cp(7) = 3    1 / 7 = 0,001...

4)  15 = 3 . 5     Cp(5) = 4    1 / 5 = 0,0011...

5)  31 = primo     Cp(31) = 5    1 / 31 = 0,00001...

6)  63 = 3 . 3 . 7

7)  127 = primo     Cp(127) = 7    1 / 127 = 0,0000001...

8)  255 = 3 . 5 . 17     Cp(17) = 8    1 / 17 = 0,00001111...

9)  511 = 7 . 73     Cp(73) = 9    1 / 73 = 0,000000111...

10)  1023 = 3 . 11 . 31     Cp(11) = 10    1 / 11 = 0,0001011101...   

                                     

11)  2047 = 23 . 89     Cp(23) = 11    1 / 23 = 0,00001011001...    Cp(89) = 11    1 / 89 = 0,00000010111...

12)  4095 = 3 . 3 . 5 . 7 . 13     Cp(13) = 12    1 / 13 = 0,000100111011...

13)  8191 = primo     Cp(8191) = 13

En base 3

1)  1

2)  4 = 2 . 2

3)  13 = primo     Cp(13) = 3    1 / 13 = 0,002...

4)  40 = 2 . 2 . 2 . 5     Cp(5) = 4    1 / 5 = 0,0121...

5)  121 = 11 . 11     Cp(11) = 5    1 / 11 = 0,00211...

6)  364 = 2 . 2 . 7 . 13     Cp(7) = 6    1 / 7 = 0,010212...

7)  1093 = primo     Cp(1093) = 7    1 / 1093 = 0,0000002...

8)  3280 = 2 . 2 . 2 . 2 . 5 . 41     Cp(41) = 8    1 / 41 = 0,00012221...

9)  9841 = 13 . 757     Cp(757) = 9    1 / 757 = 0,000000222...

10)  29524 = 2 . 2 . 11 . 11 . 61     Cp(61) = 10    1 / 61 = 0,0001022212...   

11)  88573 = 23 . 3851     Cp(23) = 11    1 / 23 = 0,00101120021...     Cp(3851) = 11    1 / 3851 = 0,00000001201...

   

12)  265720 = 2 . 2 . 2 . 5 . 7 . 13 . 73     Cp(73) = 12    1 / 73 = 0,000100222122...

13)  797161 = primo     Cp(797161) = 13   

En base 4

1)  1

2)  5 = primo     Cp(5) = 2    1 / 5 = 0,03...

3)  21 = 3 . 7     Cp(7) = 3    1 / 7 = 0,021...     con el  3  pasa lo mismo que en la base 10,  Cp(3)=1

4)  85 = 5 . 17     Cp(17) = 4    1 / 17 = 0,0033...

5)  341 = 11 . 31     Cp(11) = 5    1 / 11 = 0,01131...     Cp(31) = 5    1 / 31 = 0,00201...

6)  1365 = 3 . 5 . 7 . 13     Cp(13) = 6    1 / 13 = 0,010323...

7)  5461 = 43 . 127     Cp(43) = 7    1 / 43 = 0,0011331...     Cp(127) = 7    1 / 127 = 0,0002001...

8)  21845 = 5 . 17 . 257     Cp(257) = 8    1 / 257 = 0,00003333...

9)  87381 = 3 . 3 . 7 . 19 . 73     Cp(19) = 9    1 / 19 = 0,003113211...     Cp(73) = 9    1 / 73 = 0,000320013...

10)  349525 = 5 . 5 . 11 . 31 . 41     Cp(41) = 10    1 / 41 = 0,0012033213...  

                                         

11)  1398101 = 23 . 89 . 683     Cp(23) = 11    1 / 23 = 0,00230201121...     Cp(89) = 11    1 / 89 = 0,00023200113...     Cp(683) = 11    1 / 683 = 0,00001133331...

                                                                                                

12)  5592405 = 3 . 5 . 7 . 13 . 17 . 241     Cp(241) = 12    1 / 241 = 0,000100333233...

13)  22369621 = 2731 . 8191     Cp(2731) = 13    1 / 2731 = 0,0000011333331...     Cp(8191) = 13