Grupo reducido de Primos

Recordemos que la factorización de los unos señala a los primos cuya longitud del período  Cp  es igual a la cantidad de unos factorizada.

Entonces la factorización de los unos mostrará que sólo determinados números primos podrán estar presentes en una determinada factorización.

Esos primos sólo podrán ser de la forma   P = U . N + 1   siendo  U  la cantidad de unos factorizada.

Esto también podría expresarse diciendo que  P – 1  será divisible por  U

No tendremos en cuenta a los primos que se vayan repitiendo en nuevas factorizaciones. Así, por ejemplo, el primo  37  aparece en la factorización de 111 (donde cumple lo antedicho), y luego vuelve a aparecer en la factorización de 111111, donde ya no lo tendremos en cuenta.

Entonces veamos lo que pasa en la base decimal (por supuesto que esto también será válido en las demás bases numéricas)

U=1)    1

U=2)    11 = primo     11 – 1  es divisible por  2

U=3)    111 = 3 . 37     37 – 1  es divisible por  3

U=4)    1111 = 11 . 101     101 – 1  es divisible por  4

U=5)    11111 = 41 . 271     41 – 1   y   271 – 1    son divisibles por  5

U=6)    111111 = 3 . 7 . 11 . 13 . 37     7 – 1   y   13 – 1    son divisibles por  6

U=7)    1111111 = 239 . 4649     239 – 1   y   4649 – 1    son divisibles por  7  

U=8)    11111111 = 11 . 73 . 101 . 137     73 – 1   y   137 – 1    son divisibles por  8

U=9)    111111111 = 3 . 3 . 37 . 333667     333667 – 1  es divisible por  9

U=10)    1111111111 = 11 . 41 . 271 . 9091     9091 – 1  es divisible por  10

U=11)    11111111111 = 21649 . 513239     21649 – 1   y   513239 – 1    son divisibles por  11

U=12)    111111111111 = 3 . 7 . 11 . 13 . 37 . 101 . 9901     9901 – 1  es  divisible por  12

U=13)    1111111111111 = 53 . 79 . 265371653     53 – 1  y  79 – 1  y  265371653 – 1   son divisibles por  13

La cuestión es que siempre tendremos un grupo reducido de posibles primos que podrían llegar a ser factores de una determinada factorización (y cuando la factorización sea de muchos más unos, el grupo será aún mucho más reducido).

Ejemplo: en el caso de los trece unos, veamos todos los números (hasta 1000) de la forma  P = U . N + 1

14   27   40   53   66   79   92   105   118   131   144   157   170   183   196   209   222   235   248   261   274   287   300   313   326   339   352   365   378   391   404   417   430   443   456   469   482   495   508   521   534   547   560   573   586   599   612   625   638   651   664   677   690   703   716   729   742   755   768   781   794   807   820   833   846   859   872   885   898   911   924   937   950   963   976   989

y ahora dejemos sólo los que son primos:

53   79   131   157   313   443   521   547   599   677   859   911   937

O sea que sólo estos pocos primos (hasta el 1000) podrían llegar a ser factores de los trece unos. De hecho el  53  y el  79  lo son. Pero no deberíamos esperar que lo cumplieran el 61, el 97 ó el 113 (por citar algunos) ya que no obedecen a la fórmula  P = U . N + 1.