Los Unos en otras Bases

La factorización de los unos muestra a los primos cuya longitud del período  Cp  es igual a la cantidad de unos factorizada.
Además, cada factorización indicará a los únicos primos en tener ese determinado  Cp.
Así, por ejemplo, la factorización de  11111  señalará al  41  y al  271  como los únicos primos en tener 5 cifras en su período. 

En la base decimal tenemos:

1)  1

2)  11 = primo     Cp(11) = 2     1 / 11 = 0,09...

3)  111 = 3 . 37     Cp(37) = 3     1 / 37 = 0,027...   

4)  1111 = 11 . 101     Cp(101) = 4     1 / 101 = 0,0099...   

5)  11111 = 41 . 271     Cp(41) = 5     1 / 41 = 0,02439...     Cp(271) = 5     1 / 271 = 0,00369...

6)  111111 = 3 . 7 . 11 . 13 . 37     Cp(7) = 6     1 / 7 = 0,142857...     Cp(13) = 6     1 / 13 = 0,076923...    

7)  1111111 = 239 . 4649     Cp(239) = 7    1 / 239 = 0,0041841...     Cp(4649) = 7     1 / 4649 = 0,0002151...    

8)  11111111 = 11 . 73 . 101 . 137    Cp(73) = 8    1 / 73 = 0,01369863...     Cp(137) = 8   1 / 137 = 0,00729927...

                                                         

9)  111111111 = 3 . 3 . 37 . 333667     Cp(333667) = 9     1 / 333667 = 0,000002997...    

10)  1111111111 = 11 . 41 . 271 . 9091     Cp(9091) = 10     1 / 9091 = 0,0001099989...

11)  11111111111 = 21649 . 513239     Cp(21649) = 11     1 / 21649 = 0,00004619151...     Cp(513239) = 11     1 / 513239 = 0,00000194841

resulta raro ver que las tres últimas cifras de estos primos (239 y 649) sean las mismas que aparecen en la factorización de los siete unos.


12)  111111111111 = 3 . 7 . 11 . 13 . 37 . 101 . 9901     Cp(9901) = 12     1 / 9901 = 0,000100999899...    

13)  1111111111111 = 53 . 79 . 265371653    Cp(53) = 13     1 / 53 = 0,0188679245283...     Cp(79) = 13     1 / 79 = 0,0126582278481...     Cp(265371653) = 13   1 / 265371653 = 0,0000000037683...    

                                                                         

                                                                     

Para factorizar los unos en las otras bases numéricas, vamos a anotar dichos unos como estamos acostumbrados a hacerlo en la base decimal. Así, por ejemplo, el  111  en base 2 corresponderá al  7  en base 10, pues  2⁰  + 2^{1  +}  2²   = 7

En base 2

1)  1

2)  3 = primo     Cp(3) = 2    1 / 3 = 0,01...

3)  7 = primo     Cp(7) = 3    1 / 7 = 0,001...

4)  15 = 3 . 5     Cp(5) = 4    1 / 5 = 0,0011...

5)  31 = primo     Cp(31) = 5    1 / 31 = 0,00001...

6)  63 = 3 . 3 . 7

7)  127 = primo     Cp(127) = 7    1 / 127 = 0,0000001...

8)  255 = 3 . 5 . 17     Cp(17) = 8    1 / 17 = 0,00001111...

9)  511 = 7 . 73     Cp(73) = 9    1 / 73 = 0,000000111...

10)  1023 = 3 . 11 . 31     Cp(11) = 10    1 / 11 = 0,0001011101...   

                                     

11)  2047 = 23 . 89     Cp(23) = 11    1 / 23 = 0,00001011001...    Cp(89) = 11    1 / 89 = 0,00000010111...

12)  4095 = 3 . 3 . 5 . 7 . 13     Cp(13) = 12    1 / 13 = 0,000100111011...

13)  8191 = primo     Cp(8191) = 13

En base 3

1)  1

2)  4 = 2 . 2

3)  13 = primo     Cp(13) = 3    1 / 13 = 0,002...

4)  40 = 2 . 2 . 2 . 5     Cp(5) = 4    1 / 5 = 0,0121...

5)  121 = 11 . 11     Cp(11) = 5    1 / 11 = 0,00211...

6)  364 = 2 . 2 . 7 . 13     Cp(7) = 6    1 / 7 = 0,010212...

7)  1093 = primo     Cp(1093) = 7    1 / 1093 = 0,0000002...

8)  3280 = 2 . 2 . 2 . 2 . 5 . 41     Cp(41) = 8    1 / 41 = 0,00012221...

9)  9841 = 13 . 757     Cp(757) = 9    1 / 757 = 0,000000222...

10)  29524 = 2 . 2 . 11 . 11 . 61     Cp(61) = 10    1 / 61 = 0,0001022212...   

11)  88573 = 23 . 3851     Cp(23) = 11    1 / 23 = 0,00101120021...     Cp(3851) = 11    1 / 3851 = 0,00000001201...

   

12)  265720 = 2 . 2 . 2 . 5 . 7 . 13 . 73     Cp(73) = 12    1 / 73 = 0,000100222122...

13)  797161 = primo     Cp(797161) = 13   

En base 4

1)  1

2)  5 = primo     Cp(5) = 2    1 / 5 = 0,03...

3)  21 = 3 . 7     Cp(7) = 3    1 / 7 = 0,021...     con el  3  pasa lo mismo que en la base 10,  Cp(3)=1

4)  85 = 5 . 17     Cp(17) = 4    1 / 17 = 0,0033...

5)  341 = 11 . 31     Cp(11) = 5    1 / 11 = 0,01131...     Cp(31) = 5    1 / 31 = 0,00201...

6)  1365 = 3 . 5 . 7 . 13     Cp(13) = 6    1 / 13 = 0,010323...

7)  5461 = 43 . 127     Cp(43) = 7    1 / 43 = 0,0011331...     Cp(127) = 7    1 / 127 = 0,0002001...

8)  21845 = 5 . 17 . 257     Cp(257) = 8    1 / 257 = 0,00003333...

9)  87381 = 3 . 3 . 7 . 19 . 73     Cp(19) = 9    1 / 19 = 0,003113211...     Cp(73) = 9    1 / 73 = 0,000320013...

10)  349525 = 5 . 5 . 11 . 31 . 41     Cp(41) = 10    1 / 41 = 0,0012033213...  

                                         

11)  1398101 = 23 . 89 . 683     Cp(23) = 11    1 / 23 = 0,00230201121...     Cp(89) = 11    1 / 89 = 0,00023200113...     Cp(683) = 11    1 / 683 = 0,00001133331...

                                                                                                

12)  5592405 = 3 . 5 . 7 . 13 . 17 . 241     Cp(241) = 12    1 / 241 = 0,000100333233...

13)  22369621 = 2731 . 8191     Cp(2731) = 13    1 / 2731 = 0,0000011333331...     Cp(8191) = 13