Curiosidad en la factorización de los Unos

Hagamos lo mismo que en la entrada anterior, pero en otra base numérica.

Elijamos la base 9, la cual mostrará una curiosidad.

U=1)    1

U=2)    10 = 2 . 5     5 – 1  es divisible por  2

U=3)    91 = 7 . 13     7 – 1   y   13 – 1    son divisibles por  3

U=4)    820 = 2 . 2 . 5 . 41     41 – 1  es divisible por  4

U=5)    7381 = 11 . 11 . 61     11 – 1   y   61 – 1    son divisibles por  5

U=6)    66430 = 2 . 5 . 7 . 13 . 73     73 – 1    es divisible por  6

U=7)    597871 = 547 . 1093     547 – 1   y   1093 – 1    son divisibles por  7  

U=8)    5380840 = 2 . 2 . 2 . 5 . 17 . 41 . 193     17 – 1   y   193 – 1    son divisibles por  8

U=9)    48427561 = 7 . 13 . 19 . 37 . 757     19 – 1   y   37 – 1   y   757 – 1    son divisibles por  9

U=10)    435848050 = 2 . 5 . 5 . 11 . 11 . 61 . 1181     1181 – 1  es divisible por  10

U=11)    3922632451 = 23 . 67 . 661 . 3851   23 – 1  y  67 – 1  y  661 – 1   y  3851 – 1   son divisibles por  11

U=12)    35303692060 = 2 . 2 . 5 . 7 . 13 . 41 . 73 . 6481     6481 – 1  es  divisible por  12

U=13)    317733228541 = 398581 . 797161     398581 – 1   y   797161 – 1    son divisibles por  13

La cuestión de la divisibilidad se sigue cumpliendo como en la entrada anterior, pero la curiosidad radica en notar que cuando la factorización es de sólo dos primos, uno será el doble menos uno del otro. Aquí se da en los casos

U=3)      7 . 2  – 1 = 13

U=7)      547 . 2  – 1 = 1093

U=13)    398581 . 2  – 1 = 797161

De todos modos esto también se ve en las demás  U  impares, si acomodamos convenientemente sus factores

U=5)      61 . 2  – 1 = 11 . 11

U=9)      7 . 19 . 37 . 2  – 1 = 13 . 757

U=11)    67 . 661 . 2  – 1 = 23 . 3851

Algo parecido también se da en las  U  pares, pero sumando 1 en lugar de restar 1.

U=2)      2 . 2  + 1 = 5

U=4)      2 . 2 . 5 . 2  + 1 = 41

U=6)      2 . 7 . 13 . 2  + 1 = 5 . 73

U=8)      2 . 2 . 2 . 5 . 41 . 2  + 1 = 17 . 193

U=10)    2 . 11 . 11 . 61 . 2  + 1 = 5 . 5 . 1181

U=12)    2 . 2 . 5 . 7 . 13 . 73 . 2  + 1 = 41 . 6481

Teniendo presente esta curiosidad, tal vez podría pensarse que cada factorización de unos en cada base podría poseer alguna regularidad similar a la observada aquí.

Por lo pronto, en la base 2 (donde se llaman Números de Mersenne) se nota algo parecido.

En las  U  pares se acomodan convenientemente los factores, se restan, y el resultado es 2.

Pero en las  U  impares puede ser que directamente sean primos (Primos de Mersenne) o la resta dé 66, como pasa en los casos U=9, U=11 y U=15. Luego, a partir de U=21, la cosa se descontrola y habría que investigar qué pasa a partir de ahí.

U=1)  1

U=2)  3 = primo

U=3)  7 = primo

U=4)  15 = 3 . 5        5 – 3 = 2   

U=5)  31 = primo

U=6)  63 = 3 . 3 . 7        3 . 3 – 7 = 2  

U=7)  127 = primo

U=8)  255 = 3 . 5 . 17        17 – 3 . 5 = 2  

U=9)  511 = 7 . 73        73 – 7 = 66  

U=10)  1023 = 3 . 11 . 31        3 . 11 – 31 = 2       

                                          

U=11)  2047 = 23 . 89        89 – 23 = 66   

U=12)  4095 = 3 . 3 . 5 . 7 . 13        5 . 13 – 3 . 3 . 7 = 2       

U=13)  8191 = primo

U=14)  16383 = 3 . 43 . 127        3 . 43 – 127 = 2       

                                          

U=15)  32767 = 7 . 31 . 151        7 . 31 – 151 = 66   

U=16)  65535 = 3 . 5 . 17 . 257        257 – 3 . 5 . 17 = 2       

U=17)  131071 = primo

U=18)  262143 = 3 . 3 . 3 . 7 . 19 . 73        3 . 3 . 3 . 19 – 7 . 73 = 2       

U=19)  524287 = primo

U=20)  1048575 = 3 . 5 . 5 . 11 . 31 . 41        5 . 5 . 41 – 3 . 11 . 31 = 2       

U=21)  2097151 = 7 . 7 . 127 . 337       

U=22)  4194303 = 3 . 23 . 89 . 683        3 . 683 – 23 . 89 = 2       

U=23)  83888607 = 47 . 178481