La mitad del Período

Veamos la primera mitad de algunos períodos de números primos, sumemos 1 y factoricemos

1 / 7 = 0,142857...     142 + 1 = 143 = 11 . 13

1 / 13 = 0,076923...     076 + 1 = 077 = 7 . 11

1 / 73 = 0,01369863...     0136 + 1 = 0137 = 137

1 / 19 = 0,052631578947368421...     052631578 + 1 = 052631579 = 7 . 11 . 13 . 52579

en estos pocos ejemplos notaremos que los  Cp  de los factores resultantes son divisores del  Cp  del primo que los originó.

Observemos el caso del  19

Cp(19) = 18    mientras que   Cp(7)=6   Cp(11)=2   Cp(13)=6   Cp(52579)=18

y vemos que 18 es divisible por 2, por 6 y por 18.

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La mencionada primera mitad del período, más uno, también presenta la siguiente curiosidad: si su cantidad de cifras es impar, ciertas operaciones dan valor  0 (cero)

Por ejemplo, veamos lo que pasa con el  19, que tiene  Cp=18

1 / 19 = 0,052631578 947368421...     052631578 + 1 = 052631579 (9 cifras)

sumemos alternadamente sus cifras, tomadas en bloques impares, y luego restemos:

3 bloques de 3 cifras

052 631 579 

052 + 579 = 631      631 – 631 = 0

9 bloques de 1 cifra

0 5 2 6 3 1 5 7 9

0 + 2 + 3 + 5 + 9 = 19      5 + 6 + 1 + 7 = 19      19 – 19 = 0

Otro ejemplo, el primo  211, que tiene  Cp=30

1 / 211 = 0,004739336492890 995260663507109...    004739336492890 + 1 = 004739336492891 (15 cifras)

3 bloques de 5 cifras

00473 93364 92891 

00473 + 92891 = 93364      93364 – 93364 = 0

5 bloques de 3 cifras

004 739 336 492 891 

004 + 336 + 891 = 1231      739 + 492 = 1231      1231 – 1231 = 0

15 bloques de 1 cifra

0 0 4 7 3 9 3 3 6 4 9 2 8 9 1 

0 + 4 + 3 + 3 + 6 + 9 + 8 + 1 = 34      0 + 7 + 9 + 3 + 4 + 2 + 9 = 34      34 – 34 = 0

Los primos  7  y  13, ambos con  Cp=6,  también lo cumplen

1 / 7 = 0,142857...     142 + 1 = 143 (3 cifras)

1 / 13 = 0,076923...     076 + 1 = 077 (3 cifras)

en ambos serían 3 bloques de 1 cifra

1 4 3           1 + 3 = 4      4 – 4 = 0

0 7 7           0 + 7 = 7      7 – 7 = 0

En verdad encontraremos muchos casos en los que esto del cero se cumple; pero no siempre, pues

si tomamos el primo  127,  que tiene  Cp=42

1 / 127 = 0,007874015748031496062 992125984251968503937...
      007874015748031496062 + 1 = 007874015748031496063 (21 cifras)

3 bloques de 7 cifras

0078740 1574803 1496063

0078740 + 1496063 = 1574803      1574803 – 1574803 = 0

7 bloques de 3 cifras

007 874 015 748 031 496 063

007 + 015 + 031 + 063 = 116      874 + 748 + 496 = 2118      2118 – 116 = 2002

21 bloques de 1 cifra

0 0 7 8 7 4 0 1 5 7 4 8 0 3 1 4 9 6 0 6 3

0 + 7 + 7 + 0 + 5 + 4 + 0 + 1 + 9 + 0 + 3 = 36      0 + 8 + 4 + 1 + 7 + 8 + 3 + 4 + 6 + 6 = 47      47 – 36 = 11

ahora vemos que estas dos últimas pruebas no dan  0 (cero), sino que dan  2002  y  11

Después de varias pruebas más, advertimos que toma fuerza la creencia de que siempre el resultado será    0 (cero) ó, de lo contrario, será un número de la forma:

                                                                 N0...0N

siendo  N  el mismo dígito de cada lado, pudiendo (o no) haber ceros en el medio.

Algunos resultados encontrados (distintos de cero) fueron:

para el primo  23,  tomando  11  bloques de  1 cifra,  fue  11

para el primo  59,  tomando  29  bloques de  1 cifra,  fue  11

para el primo  139,  tomando  23  bloques de  1 cifra,  fue  11

para el primo  197,  tomando  49  bloques de  1 cifra,  fue  11

para el primo  251,  tomando  25  bloques de  1 cifra,  fue  11

para el primo  293,  tomando  73  bloques de  1 cifra,  fue  11

para el primo  331,  tomando  55  bloques de  1 cifra,  fue  11

para el primo  463,  tomando  77  bloques de  1 cifra,  fue  11

para el primo  859,  tomando  13  bloques de  1 cifra,  fue  11

para el primo  607,  tomando  101  bloques de  1 cifra,  fue  11

para el primo  47,  tomando  23  bloques de  1 cifra,  fue  22

para el primo  131,  tomando  65  bloques de  1 cifra,  fue  22

para el primo  179,  tomando  89  bloques de  1 cifra,  fue  22

para el primo  167,  tomando  83  bloques de  1 cifra,  fue  55

para el primo  29,  tomando  7  bloques de  2 cifras,  fue  101

para el primo  89,  tomando  11  bloques de  2 cifras,  fue  101

para el primo  149,  tomando  37  bloques de  2 cifras,  fue  101

para el primo  181,  tomando  45  bloques de  2 cifras,  fue  303

para el primo  349,  tomando  29  bloques de  2 cifras,  fue  303

para el primo  373,  tomando  31  bloques de  3 cifras,  fue  1001

para el primo  131,  tomando  13  bloques de  5 cifras,  fue  100001

para el primo  181,  tomando  15  bloques de  6 cifras,  fue  1000001

para el primo  197,  tomando  7  bloques de  7 cifras,  fue  10000001

para el primo  181,  tomando  9  bloques de  10 cifras,  fue  10000000001

para el primo  421,  tomando  5  bloques de  14 cifras,  fue  100000000000001

Más allá de precisar una revisión, estos casos (donde el resultado  no es cero) parecen mostrar que cuando se toman bloques de  1 cifra, el resultado será sólo dos dígitos iguales, y cuando se toman bloques de  2 ó más cifras, entre esos dos dígitos iguales habrá tantos  ceros  como  cifras menos una  se hayan tomado.