Longitud del Período

Habíamos visto que para encontrar el  Cp  del cuadrado de un número primo  P  podíamos utilizar la fórmula:
                                        Cp(P²) =  P . Cp(P)

Por ejemplo, sabiendo que  Cp(7) = 6   sería   Cp(7²) = 7 . 6 = 42

También recordemos que había inconvenientes cuando lo calculábamos para el  3,  para el  487  y quién sabe para cuántos primos más (¿acaso infinitos?)

Problemas aparte, veamos ahora una manera general para poder calcular el  Cp  de cualquier potencia.

En este caso la fórmula sería:

                                        Cp(P^N) =  P^N-1 . Cp(P)

volviendo al ejemplo del  7  veamos su cubo
aquí tendríamos   Cp(7³) = 7² . 6 = 294

Veamos ahora una fórmula que parece permitir encontrar la longitud del período de cualquier número no primo:

                    Cp(A^a. B^b . C^c.  ...  . Z^z) =  [ Cp(A^a) , Cp(B^b) , Cp(C^c) , ... , Cp(Z^z) ]

Los corchetes significarán  “mínimo común múltiplo”

Por ejemplo, encontramos así el  Cp  de  19943

primero factoricemos     19943 = 7 . 7 . 11 . 37

Luego aplicamos la fórmula sabiendo que   Cp(7)=6  ;  Cp(11)=2  ;  Cp(37)=3

Cp(19943) = Cp(7². 11 . 37) = [ Cp(7²) , Cp(11) , Cp(37) ] = [ 7.Cp(7) , Cp(11) , Cp(37) ] = [ 42 , 2 , 3 ] = 42

comprobemos

1 / 19943 = 0,0000501429 0728576442 8621571478 7143358571 93

efectivamente son 42 cifras.

Claro que lo más importante sería poder encontrar una fórmula simple para lograr averiguar la longitud del período  Cp  de los números primos.

Por lo pronto sólo tenemos el camino indirecto de la factorización de los unos. O también el de la construcción de la cadena de bases.