Cadena de Bases

La idea sería poder averiguar la longitud del período  Cp  de cualquier número primo en cualquier base de numeración.

Empecemos viendo un ejemplo, digamos el  13

factoricemos     13 - 1 = 2.2.3    entonces los  Cp  podrán valer: 1, 2, 3, 4, 6  ó  12

Para construir la cadena tenemos que conocer la primera base numérica en donde Cp=12

Probamos en base 2     0,000100111011...    y vemos que sí, que tiene Cp=12

entonces largamos con el  2  y construimos la cadena multiplicando siempre por  2   hasta que supere  13:

2    4    8    16

con el 16 nos pasamos de 13, entonces ahí ponemos su resta, o sea 16 – 13 = 3

2    4    8    3

y ahora seguimos multiplicando por 2

2    4    8    3    6    12    24

de nuevo nos pasamos de 13, entonces restamos  24 – 13 = 11  y seguimos multiplicando por 2

2    4    8    3    6    12    11    22

22 – 13 = 9  y seguimos

2    4    8    3    6    12    11    9    18

18 – 13 = 5  y seguimos

2    4    8    3    6    12    11    9    5    10    20

20 – 13 = 7  y seguimos

2    4    8    3    6    12    11    9    5    10    7    14

14 – 13 = 1  y terminamos, pues ya tenemos las 12 bases

2    4    8    3    6    12    11    9    5    10    7    1

Esta es la cadena de bases para el número primo  13

Ahora tenemos que asociar cada  Cp  a cada base

Recordemos los  Cp  posibles:  1    2    3    4    6    12

para el  1  hacemos  12 / 1 =12 (un "salto" de 12), y lo asociamos con la base que está en la posición 12º

para el  2  hacemos  12 / 2 =6 (dos "saltos" de 6), y lo asociamos con las bases 6º y 12º, pero como la 12º ya está ocupada, entonces lo asociamos sólo con la 6º

para el  3  hacemos  12 / 3 =4 (tres "saltos" de 4), y lo asociamos con las bases de las posiciones 4º, 8º y 12º, pero como la 12º ya está ocupada, entonces lo asociamos sólo con la 4º y 8º

para el  4  hacemos  12 / 4 =3 (cuatro "saltos" de 3), y lo asociamos con las bases de las posiciones 3º, 6º, 9º y 12º, pero como la 6º y 12º ya están ocupadas, entonces lo asociamos sólo con la 3º y 9º

para el  6  hacemos  12 / 6 =2 (seis "saltos" de 2), y lo asociamos con las bases de las posiciones 2º, 4º, 6º, 8º, 10º y 12º, pero como la 4º,6º,8º y 12º ya están ocupadas, entonces lo asociamos sólo con la 2º y 10º

Para el 12 simplemente lo asociamos con las bases restantes, o sea con la 1º, 5º, 7º y 11º

Ahora lo comprobamos:

en base  2     0,000100111011...        Cp = 12

en base  3     0,002...                          Cp = 3

en base  4     0,010323...                    Cp = 6

en base  5     0,0143...                        Cp = 4

en base  6     0,024340531215...        Cp = 12

en base  7     0,034245631421...        Cp = 12

en base  8     0,0473...                        Cp = 4

en base  9     0,062...                          Cp = 3

en base 10    0,076923...                    Cp = 6

en base 11    0,093425(10)17685...    Cp = 12

en base 12    0,0(11)...                        Cp = 2

efectivamente todas cumplen.

Ahora veamos el tema de las bases numéricas mayores.

Por ejemplo, ¿cuál sería el Cp de 13 en la base 83?

Para ello hacemos 83 dividido 13 y el resto de esta división corresponde a la base buscada:    83 = 13 . 6  +  5

entonces el número  13  en la base  83  tendrá el mismo  Cp  que en la base  5,  o sea cuatro cifras. Comprobemos:

en base 83    0,6(31)(76)(51)...     Cp=4

Y así podremos calcular la longitud del período de cualquier número primo en cualquier base numérica que querramos.